Пусть ${\displaystyle G}$ — локально компактная хаусдорфова топологическая группа .

Левой мерой Хаара в ${\displaystyle G}$ называется мера ${\displaystyle \mu _{l}}$ , определенная на σ -кольце , порожденном всеми компактными множествами , не равная тождественно нулю, конечная на компактных множествах и такая, что

${\displaystyle \mu _{l}(gE)=\mu _{l}(E)}$

для любых ${\displaystyle g\in G}$ и ${\displaystyle E}$ из области определения ${\displaystyle \mu _{l}}$ .

Правая мера Хаара ${\displaystyle \mu _{r}}$ определяется аналогично заменой условия ${\displaystyle \mu _{l}(gE)=\mu _{l}(E)}$ на условие ${\displaystyle \mu _{r}(Eg)=\mu _{r}(E)}$ .

Свойства

• В любой локально компактной топологической группе типа существует и единственна с точностью до мультипликативной положительной постоянной левая (и правая) мера Хаара.
• Для компактных групп, любая левая мера Хаара также является правой.
• Для некомпактных групп, существует гомоморфизм ${\displaystyle f\colon G\to \mathbb {R} _{+}}$ , такой что мера ${\displaystyle f\cdot \mu _{l}}$ является правой мерой Хаара.

Примеры

• Мера Лебега в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ является частным случаем меры Хаара.

Литература

• Вейль А. Интегрирование в топологических группах и его применения. — М. : ИЛ, 1950. — 222 с.
• Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М. : Наука, 1968. — 664 с.
• Понтрягин Л. С. . — М. : Наука, 1973. — 519 с.