Мера Хаусдорфа — собирательное название класса мер , определённых на борелевской ${\displaystyle \sigma }$ -алгебре ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$ метрического пространства ${\displaystyle X}$ . Построены Феликсом Хаусдорфом .

Определение

Рассмотрим некоторый класс ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ открытых подмножеств ${\displaystyle X}$ , на котором определим неотрицательную функцию ${\displaystyle l=\{l(A)\mid A\in {\mathcal {U}}\}}$ и

${\displaystyle \lambda (B,\;\varepsilon )=\inf \left\{\sum _{i=1}^{n}l(A_{i})\right\},}$

где нижняя грань берётся по всем конечным или счётным покрытиям борелевского множества ${\displaystyle B\subset X}$ множествами из ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ с диаметром , не превосходящим ${\displaystyle \varepsilon }$ , то есть

${\displaystyle B\subset \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\in {\mathcal {U}}}$

и

${\displaystyle \mathrm {diam} \,A_{i}\leqslant \varepsilon ,\quad i=1,\;2,\;\ldots }$

Мерой Хаусдорфа ${\displaystyle \lambda }$ , определяемой классом ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ и функцией ${\displaystyle l}$ , называется предел

${\displaystyle \lambda (B)=\lim _{\varepsilon \to 0}\lambda (B,\;\varepsilon ).}$

Примеры

1. Пусть ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ — совокупность всех шаров в ${\displaystyle X}$ , a ${\displaystyle l(A)=(\mathrm {diam} \,A)^{\alpha }}$ , где ${\displaystyle \alpha >0}$ . Тогда соответствующая мера ${\displaystyle \lambda }$ будет называться ${\displaystyle \alpha }$ -мерой Хаусдорфа . При ${\displaystyle \alpha =1}$ такая мера будет называться линейной мерой Хаусдорфа , а при ${\displaystyle \alpha =2}$ — плоской мерой Хаусдорфа .
2. Если ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n+1}}$ , ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ — совокупность цилиндров с шаровыми основаниями и осями, параллельными направлению оси ${\displaystyle x_{n+1}}$ и ${\displaystyle l(A)}$ равна ${\displaystyle n}$ -мерному объёму осевого сечения цилиндра ${\displaystyle A\in {\mathcal {U}}}$ , то соответствующая мера Хаусдорфа называется цилиндрической мерой .

Литература

• Данфорд, Н., Шварц, Дж. Линейные операторы. Общая теория. — пер. с англ.. — М. : Едиториал УРСС , 2004. — Т. 1. — 896 с. — ISBN 5-354-00601-5 . .

Примечания