Постоянная Гельфонда — трансцендентное число ${\displaystyle e^{\pi }}$ (то есть e в степени π ). Названа в честь Александра Осиповича Гельфонда . Доказательство трансцендентности этого числа — один из пунктов седьмой проблемы Гильберта .

Численное значение

Десятичное представление постоянной Гельфонда:

${\displaystyle e^{\pi }\approx 23{,}140\,692\,632\,779\,269\,005\,729\,086\,367\,948\,547\ldots }$

Его приближённые значения можно получать , используя рекуррентно определённую последовательность

${\displaystyle k_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}},}$ где ${\displaystyle k_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}},}$

а именно следующее выражение:

${\displaystyle e^{\pi }\approx \left({\frac {1}{4}}k_{n}\right)^{-2^{1-n}}.}$

При этом сходимость таких приближений к ${\displaystyle e^{\pi }}$ достаточно быстрая.

Численное значение постоянной также представимо в виде простой непрерывной дроби : [23; 7, 9, 3, 1, 1, 591, 2, 9, 1, 2, 34, …].

Свойства

• ${\displaystyle (e^{\pi })^{i}=-1}$

• ${\displaystyle e^{\pi }=(e^{i\pi })^{-i}=(-1)^{-i}}$

• ${\displaystyle e^{\pi }-\pi =19,9990999791894...}$

• Каждая дополнительная орбита серий отражений фотонной сферы вокруг невращающейся чëрной дыры Шварцшильда определяется множителем ${\displaystyle e^{2\pi }=535.4916555247...}$ (квадрат постоянной Гельфонда) .

Примечания

См. также

• Постоянная Гельфонда — Шнайдера ${\displaystyle (2^{\sqrt {2}})}$

Литература

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• (англ.) на сайте PlanetMath .
• David Wells. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers . — Middlesex, England : Penguin Books, 1987. — P. . — 229 p. — ISBN 978-0140080292 .
• Lennart Berggren, Jonathan Borwein, Peter Borwein. . — New York : Springer Verlag , 1997. — P. . — 716 p. — ISBN 978-0387949246 .

Это заготовка статьи по математике . Помогите Википедии, дополнив её.