Interested Article - Теорема Линдемана — Вейерштрасса

Теорема Линдемана — Вейерштрасса , являющаяся обобщением теоремы Линдемана, доказывает трансцендентность большого класса чисел. Теорема утверждает следующее :

Если $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots \alpha _{n}$ — различные алгебраические числа , линейно независимые над $\mathbb {Q}$ , то $e^{\alpha _{1}},e^{\alpha _{2}},\dots e^{\alpha _{n}}$ являются алгебраически независимыми над $\mathbb {Q}$ , то есть, степень трансцендентности расширения $\mathbb {Q} (e^{\alpha _{1}},e^{\alpha _{2}},\dots e^{\alpha _{n}})$ равна $n$

Часто используется другая эквивалентная формулировка :

Для любых различных алгебраических чисел $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots \alpha _{n}$ числа $e^{\alpha _{1}},e^{\alpha _{2}},\dots e^{\alpha _{n}}$ являются линейно независимыми над полем алгебраических чисел ${\overline {\mathbb {Q} }}$ .

История

В 1882 году Линдеман доказал, что $e^{\alpha }$ трансцендентно для любого ненулевого алгебраического $\alpha$ , а в 1885 году Карл Вейерштрасс доказал более общее утверждение, приведённое выше.

Из теоремы Линдемана — Вейерштрасса легко следует трансцендентность чисел e и π .

Доказательство трансцендентности π

Применим метод доказательства от противного . Предположим, число $\pi$ является алгебраическим. Тогда число $i\pi$ , где $i$ — мнимая единица , также алгебраично, следовательно, по теореме Линдемана — Вейерштрасса число $e^{i\pi }$ трансцендентно, однако согласно тождеству Эйлера оно равно алгебраическому числу $-1$ , что вызывает противоречие. Следовательно, число $\pi$ трансцендентно.

Примечания

Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
Alan Baker. Transcendental Number Theory. — Cambridge University Press, 1975. — ISBN 052139791X . . Chapter 1, Theorem 1.4.
F. Lindemann. Über die Zahl π (нем.) // Mathematische Annalen. — Bd. 20 (1882) . — S. 213—225 .

Литература

Ленг С. Алгебра. — Москва: Мир, 1968. — 564 с.
Шидловский А. Б. «Диофантовы приближения и трансцендентные числа» (М. ФИЗМАТЛИТ, 2007) ISBN 978-5-9221-0720-4