Константа Каэна — сумма знакочередующегося числового ряда , строящегося из членов ряда Сильвестра :

${\displaystyle C=\sum {\frac {(-1)^{i}}{s_{i}-1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{1806}}-\cdots }$ ,

где ${\displaystyle s_{i}}$ — ${\displaystyle i}$ -й элемент последовательности Сильвестра. Приблизительное значение — 0,64341054629.

Названа по имени впервые исследовавшего данный ряд французского математика ( фр. ) .

Может быть получена как сумма знакопостоянного ряда, образованного слагаемыми, обратными чётным членам последовательности Сильвестра (последовательностью приближений жадного алгоритма для египетских дробей ):

${\displaystyle C=\sum {\frac {1}{s_{2i}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{1807}}+{\frac {1}{10650056950807}}+\cdots }$ .

Константа трансцендентна , притом является одним из немногих трансцендентных чисел, для которых известна полная цепная дробь — для последовательности 1, 1, 2, 3, 14, 129, 25298, 420984147, … , определённой рекуррентным уравнением ${\displaystyle q_{n+2}=q_{n}^{2}q_{n+1}+q_{n}}$ , цепная дробь, соответствующая константе Каэна, представляется следующим образом :

${\displaystyle [0,1,q_{0}^{2},q_{1}^{2},q_{2}^{2},\ldots ]}$ .

Примечания

Литература

• Eugène Cahen. Note sur un développement des quantités numériques, qui présente quelque analogie avec celui en fractions continues // . — 1891. — Т. 10 . — С. 508–514 .
• J. Les Davison, Jeffrey O. Shallit. Continued fractions for some alternating series // Monatshefte für Mathematik. — 1991. — Т. 111 , вып. 2 . — С. 119–126 . — doi : .

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• (неопр.) . Plouffe's Inverter . . Дата обращения: 19 марта 2011. 17 марта 2011 года.