В математической счисления константа Коморника — Лорети — это математическая константа , представляющая наименьшее основание q, для которого число 1 имеет уникальное представление, называемое его q-разверткой. Константа названа в честь и , которые дали ей определение в 1998 году.

Определение

Для действительного числа ${\displaystyle q>1}$ ряд

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{-n}}$

называется q-расширением или ${\displaystyle \beta }$ -расширение, положительного действительного числа x, если для всех ${\displaystyle n\geq 0}$ , ${\displaystyle 0\leq a_{n}\leq \lfloor q\rfloor }$ , где ${\displaystyle \lfloor q\rfloor }$ — целая функция , а ${\displaystyle a_{n}}$ не обязательно должно быть целым числом. Любое действительное число ${\displaystyle x}$ такое, что ${\displaystyle 0\leq x\leq q\lfloor q\rfloor /(q-1)}$ имеет такое расширение, которое можно найти с помощью жадного алгоритма .

Особый случай: ${\displaystyle x=1}$ , ${\displaystyle a_{0}=0}$ и ${\displaystyle a_{n}=0}$ или ${\displaystyle 1}$ иногда называют q-разработкой. ${\displaystyle a_{n}=1}$ дает только 2-развертку. Однако почти для всех ${\displaystyle 1<q<2}$ существует бесконечное количество различных q-разработок. Ещё более удивительно то, что существуют исключительные ${\displaystyle q\in (1,2)}$ , для которых существует только одна q-разработка. Кроме того, существует наименьшее число ${\displaystyle 1<q<2}$ , известное как константа Коморника — Лорети, для которого существует уникальная q-развертка.

Значение

Константа Коморника — Лорети — это значение q, такое что

${\displaystyle 1=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {t_{k}}{q^{k}}}}$

где ${\displaystyle t_{k}}$ — последовательность Морса — Туэ , то есть ${\displaystyle t_{k}}$ — четность числа единиц в двоичном представлении ${\displaystyle k}$ . Имеет приблизительное значение

${\displaystyle q=1.787231650\ldots .\,}$

Константа ${\displaystyle q}$ также является единственным положительным вещественным корнем

${\displaystyle \prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{q^{2^{k}}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{q}}\right)^{-1}-2.}$

Эта константа трансцендентна.

См. также

• Постоянная Эйлера — Маскерони
• Последовательность Рудина — Шапиро
• Слово Фибоначчи

Примечания