Interested Article - Метод симметричных составляющих

Метод симметричных составляющих — метод расчёта несимметричных электрических систем, основанный на разложении несимметричной системы на три симметричные — прямую, обратную и нулевую. Метод широко применяется для расчёта несимметричных режимов трёхфазной сети , например, коротких замыканий .

Разложение

Прямая последовательность

Прямую последовательность составляют три вектора ${\bar {A}}_{1}$ ${\bar {A}}_{1}$ , ${\bar {B}}_{1}$ ${\bar {B}}_{1}$ и ${\bar {C}}_{1}$ ${\bar {C}}_{1}$ , имеющие одинаковый модуль и сдвинутые друг относительно друга на 120 ^o . Вектор ${\bar {A}}_{1}$ ${\bar {A}}_{1}$ опережает вектор ${\bar {B}}_{1}$ ${\bar {B}}_{1}$ , а вектор ${\bar {B}}_{1}$ ${\bar {B}}_{1}$ опережает вектор ${\bar {C}}_{1}$ ${\bar {C}}_{1}$ .

Обратная последовательность

Обратную последовательность составляют векторы ${\bar {A}}_{2}$ ${\bar {A}}_{2}$ , ${\bar {B}}_{2}$ ${\bar {B}}_{2}$ и ${\bar {C}}_{2}$ ${\bar {C}}_{2}$ , одинаковой длины и сдвинутые друг относительно друга на 120 ^o . Вектор ${\bar {C}}_{2}$ ${\bar {C}}_{2}$ опережает вектор ${\bar {B}}_{2}$ ${\bar {B}}_{2}$ , а вектор ${\bar {B}}_{2}$ ${\bar {B}}_{2}$ опережает вектор ${\bar {A}}_{2}$ ${\bar {A}}_{2}$ .

Нулевая последовательность

Нулевая последовательность образуется векторами ${\bar {A}}_{0}$ ${\bar {A}}_{0}$ , ${\bar {B}}_{0}$ ${\bar {B}}_{0}$ и ${\bar {C}}_{0}$ ${\bar {C}}_{0}$ одинаковыми по модулю и направлению.

Расчет

Любая несимметричная система может быть представлена суммой трех симметричных. Таким образом:
${\begin{cases}{\bar {A}}={\bar {A}}_{1}+{\bar {A}}_{2}+{\bar {A}}_{0}\\{\bar {B}}={\bar {B}}_{1}+{\bar {B}}_{2}+{\bar {B}}_{0}\\{\bar {C}}={\bar {C}}_{1}+{\bar {C}}_{2}+{\bar {C}}_{0}\end{cases}}$ ${\begin{cases}{\bar {A}}={\bar {A}}_{1}+{\bar {A}}_{2}+{\bar {A}}_{0}\\{\bar {B}}={\bar {B}}_{1}+{\bar {B}}_{2}+{\bar {B}}_{0}\\{\bar {C}}={\bar {C}}_{1}+{\bar {C}}_{2}+{\bar {C}}_{0}\end{cases}}$

Введя оператор a, равный:
$a=e^{j{\tfrac {2\pi }{3}}}$ $a=e^{j{\tfrac {2\pi }{3}}}$ ,
можно получить для системы:
${\begin{cases}{\bar {A}}={\bar {A}}_{1}+{\bar {A}}_{2}+{\bar {A}}_{0}\\{\bar {B}}=a^{2}{\bar {A}}_{1}+a{\bar {A}}_{2}+{\bar {A}}_{0}\\{\bar {C}}=a{\bar {A}}_{1}+a^{2}{\bar {A}}_{2}+{\bar {A}}_{0}\end{cases}}$ ${\begin{cases}{\bar {A}}={\bar {A}}_{1}+{\bar {A}}_{2}+{\bar {A}}_{0}\\{\bar {B}}=a^{2}{\bar {A}}_{1}+a{\bar {A}}_{2}+{\bar {A}}_{0}\\{\bar {C}}=a{\bar {A}}_{1}+a^{2}{\bar {A}}_{2}+{\bar {A}}_{0}\end{cases}}$

Таким образом получается система из трех уравнений с тремя неизвестными, у которой решение однозначно.

Для значений векторов в составляющих симметричных системах получается:

${\bar {A}}_{1}={\tfrac {1}{3}}({\bar {A}}+a{\bar {B}}+a^{2}{\bar {C}})$ ${\bar {A}}_{1}={\tfrac {1}{3}}({\bar {A}}+a{\bar {B}}+a^{2}{\bar {C}})$
${\bar {A}}_{2}={\tfrac {1}{3}}({\bar {A}}+a^{2}{\bar {B}}+a{\bar {C}})$ ${\bar {A}}_{2}={\tfrac {1}{3}}({\bar {A}}+a^{2}{\bar {B}}+a{\bar {C}})$
${\bar {A}}_{0}={\tfrac {1}{3}}({\bar {A}}+{\bar {B}}+{\bar {C}})$ ${\bar {A}}_{0}={\tfrac {1}{3}}({\bar {A}}+{\bar {B}}+{\bar {C}})$
Эти соотношения справедливы для любой системы, в том числе и симметричной. В этом случае:
${\bar {A}}={\bar {A}}_{1}$ ${\bar {A}}={\bar {A}}_{1}$ ; ${\bar {A}}_{2}={\bar {A}}_{0}=0$ ${\bar {A}}_{2}={\bar {A}}_{0}=0$

Несимметричные режимы

Составляющие обратной последовательности возникают при появлении в сети любой несимметрии : однофазного или двухфазного короткого замыкания, обрыва фазы , несимметрии нагрузки.

Составляющие нулевой последовательности имеют место при замыканиях на землю (одно- и двухфазных) или при обрыве одной или двух фаз. В случае междуфазного замыкания составляющие нулевой последовательности(токи и напряжения) равны нулю.

Применение метода

Векторная диаграмма фазных токов. Симметричный режим.

Метод широко применяется для расчета несимметричных режимов работы электроэнергетических систем .
Этот метод используют многие устройства РЗиА . В частности, принцип работы трансформатора тока нулевой последовательности основан на сложении значений тока во всех трех фазах защищаемого участка. В нормальном(симметричном) режиме сумма значений фазных токов равна нулю. В случае возникновения однофазного замыкания, в сети появятся токи нулевой последовательности и сумма значений токов в трех фазах будет отлична от нуля, что зафиксирует измерительный прибор (например, амперметр ), подключенный ко вторичной обмотке трансформатора тока нулевой последовательности.
Для трехфазных транспозированых ЛЭП результат этого преобразования — точная матрица собственных векторов (матрица модального преобразования) . Она одинакова как для тока, так и для напряжения.

Примечания

Prado A. J. do, Kurokawa S., Bovolato L. F., Filho J. P. and Costa E. C. M. da . Phase-Mode Transformation Matrix Application for Transmission Line and Electromagnetic Transient Analyses. — New York : Nova Science Pub, 2011. — P. 40. — ISBN 978-1-61728-486-1 .

Литература

Основы теории цепей : учеб. для вузов / Г. В. Зевеке, П. А. Ионкин, А. В. Нетушил , С. В. Страхов. − 5-е изд., перераб. — М. : Энергоатомиздат, 1989. − 528 с.