Равновесие дрожащей руки ( англ. trembling hand perfect equilibrium ) — принцип оптимальности в некооперативных играх , представляющий собой равновесие Нэша , обладающее дополнительным свойством устойчивости к достаточно малым отклонениям игроков от равновесных стратегий. Сформулировано Р. Зельтеном в работе 1975 года .

Формальное определение

Пусть задана игра в нормальной форме ${\displaystyle \Gamma =<I,\{X_{i}\}_{i\in I},\{H_{i}\}_{i\in I}>}$ . Набор смешанных стратегий игроков q называется равновесием дрожащей руки, если существует такая последовательность вполне смешанных стратегий { p _ε } → q , что стратегия q _i является наилучшим ответом игрока i на стратегии остальных игроков из набора p _ε .

Как и равновесие Нэша , равновесие дрожащей руки существует в смешанном расширении в любой некооперативной игре с конечными множествами стратегий игроков.

Пример

Приведенная в таблице игра двух лиц отображенная в нормальной форме имеет два равновесия Нэша : ( Верх , Лево ) and ( Низ , Право ). Однако, только ( В , Л ) является равновесием дрожащей руки.

Действительно, предположим, что игрок 1 использует смешанную стратегию ${\displaystyle (1-\epsilon ,\epsilon )}$ , для некоторого ${\displaystyle 0<\epsilon <1}$ . Ожидаемый выигрыш игрока 2, если он играет Лево , составит:

${\displaystyle 1(1-\epsilon )+2\epsilon =1+\epsilon }$ .

Ожидаемый выигрыш игрока 2 при выборе стратегии Право составит:

${\displaystyle 0(1-\epsilon )+2\epsilon =2\epsilon }$ .

Для достаточно малых значений ε, игрок 2 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, используя стратегию Право с минимальным весом. Аналогично, игрок 1 должен использовать с минимальным весом стратегию Низ , если игрок 2 использует смешанную стратегию ${\displaystyle (1-\epsilon ,\epsilon )}$ . Следовательно, ( В , Л ) является равновесием дрожащей руки.

Аналогичные рассуждения не выполняются для профиля стратегий ( Н , П ). Действительно, предположим, что игрок 1 использует смешанную стратегию ${\displaystyle (\epsilon ,1-\epsilon )}$ . Ожидаемый выигрыш игрока 2, если он использует Л , составит:

${\displaystyle 1\epsilon +2(1-\epsilon )=2-\epsilon }$ .

Ожидаемый выигрыш игрока 2 при использовании стратегии П :

${\displaystyle 0(\epsilon )+2(1-\epsilon )=2-2\epsilon }$ .

В этом случае для любых положительных значений ε, игрок 2 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, используя П с минимальной частотой. Следовательно, ( Н , П ) не является равновесием дрожащей руки, так как при небольшой вероятности ошибок игрок 2 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, отклоняясь от данной стратегии.

Ссылки

Литература

• Зелтен, Р. , Харшаньи, Д. Общая теория выбора равновесия в играх. — СПб.: Экономическая школа, 2001.
• Печерский, С. Л., Беляева, А. А. Теория игр для экономистов. Вводный курс. (Учебное пособие) — СПб.: Изд-во Европейского университета, 2001.
• Selten, R. Evolutionary stability in extensive two-person games // Math. Soc. Sci. — 1983. — Vol. 5. — P. 269—363.
• Selten, R. Evolutionary stability in extensive two-person games — correction and further development // Math. Soc. Sci. — 1988. — Vol. 16. — P. 223—266.