Собственное равновесие — принцип оптимальности в некооперативных играх , представляющий собой сужение равновесия дрожащей руки . Введён Р. Б. Майерсоном .

В отличие от равновесия дрожащей руки , данный принцип основан на предположении, что более затратные отклонения от равновесных стратегий возникают со значительно меньшей вероятностью, нежели менее затратные.

Определение

Для заданной игры в нормальной форме ${\displaystyle \Gamma =<I,\{X_{i}\}_{i\in I},\{H_{i}\}_{i\in I}>}$ и параметра ε > 0, профиль вполне смешанных стратегий называется ε-собственным , если выполнено следующее условие: для двух чистых стратегий игрока i , x ', x '' ∈ X _i , таких, что его ожидаемый выигрыш при использовании стратегии x ' меньше, нежели при использовании x '', вероятность использования x ' не превышает εp , где p — вероятность использования чистой стратегии x ''.

Профиль стратегий в игре называется собственным равновесием, если он является пределом при ε →0 последовательности ε -собственных вполне смешанных профилей стратегий.

Пример

Рассмотрим вариант игры «орел-решка» , приведенный в таблице.

Игрок 1, выбирающий строку, прячет монету одной из сторон вверх. Если Игрок 2, выбирающий столбец, угадывает сторону, он получает эту монету. Однако, в этом варианте игры он имеет еще одну стратегию, забрать монету, не угадывая. Равновесиями Нэша в данной игре являются ситуации, в которых Игрок 2 использует стратегию «забрать монету» с вероятностью 1, а Игрок 1 — любую смешанную стратегию. Более того, любая такая ситуация является также и равновесием дрожащей руки . Интуитивно это означает, что Игроку 1, в условиях, когда Игрок 2 в любом случае забирает монету, нет необходимости оптимизировать свою стратегию.

В то же время, единственным собственным равновесием в этой игре является использование Игроком 1 своих стратегий «орел» и «решка» с вероятностями 1/2, а Игроком 2 — стратегии «забрать монету» с вероятностью 1. Наличие этого равновесия связано с тем, что Игрок 1 по-прежнему учитывает возможность невероятного события, когда Игрок 2 не забирает монету, а пытается угадать. При этом указанная стратегия Игрока 1 будет минимизировать его ожидаемый проигрыш.

Литература

• Myerson, R.B. Refinements of the Nash equilibrium concept // International Journal of Game Theory . — 1978. — Vol.15. — P. 133—154.

• van Damme, E. A relationship between perfect equilibria in extensive form games and proper equilibria in normal form games // International Journal of Game Theory — 1984. — Vol.13. — P.1-13.