Модель Штакельберга — теоретико-игровая модель олигополистического рынка при наличии информационной асимметрии. Названа в честь немецкого экономиста Генриха фон Штакельберга , впервые описавшего её в работе Marktform und Gleichgewicht (Структура рынка и равновесие), вышедшей в 1934 г.

В этой модели поведение фирм описывается динамической игрой с полной совершенной информацией, что отличает её от модели Курно , в которой поведение фирм моделируется с помощью статической игры с полной информацией. Главной особенностью игры является наличие лидирующей фирмы, которая первой устанавливает объём выпуска товаров, а остальные фирмы ориентируются в своих расчетах на неё.

Формальное определение

В дуополии Штакельберга предполагается иерархия игроков. Первым своё решение объявляет игрок I, после этого стратегию выбирает игрок II. Первый игрок называется лидером, а второй - ведомым. Равновесием по Штакельбергу в игре называется набор стратегий ${\displaystyle (x^{*},y^{*})}$ , где ${\displaystyle y^{*}=R(x^{*})}$ есть наилучший ответ игрока II на стратегию ${\displaystyle x^{*}}$ , которая находится как решение задачи

${\displaystyle H(x^{*},y^{*})=\max \limits _{x}H(x,R(x))}$ .

Основные предпосылки

1. Отрасль производит однородный товар: отличия продукции разных фирм пренебрежимо малы, а значит, покупатель при выборе, у какой фирмы покупать, ориентируется только на цену
2. Фирмы устанавливают количество производимой продукции, а цена на неё определяется исходя из спроса.
3. Существует так называемая фирма-лидер, на объём производства которой ориентируются остальные фирмы.

Частный случай: моделирование дуополии

Пусть существует отрасль с двумя фирмами, одна из которых «фирма-лидер», другая — «фирма-последователь». Пусть цена на продукцию является линейной функцией общего объема предложения Q :

${\displaystyle P(Q)=a-bQ}$ .

Предположим также, что издержки фирм на единицу продукции постоянны и равны с ₁ и с ₂ соответственно. Тогда прибыль первой фирмы, а также условие её максимизации будет определяться следующими формулами:

${\displaystyle \Pi _{1}=P(Q_{1}+Q_{2})*Q_{1}-c_{1}Q_{1}}$ , или ${\displaystyle \Pi _{1}=(a-b*(Q_{1}+Q_{2}))*Q_{1}-c_{1}Q_{1},{d\pi _{1} \over dQ_{1}}=a-b(Q_{1}+Q_{2})-bQ_{1}-bQ_{1}{dQ_{2} \over dQ_{1}}-c_{1}=0}$ , так как оптимальный объем выпуска фирмы последователя известен ${\displaystyle Q_{2}^{*}={\frac {(a-bQ_{1}^{*}-c_{2})}{2b}}}$ или ${\displaystyle Q_{2}^{*}={\frac {a-c_{2}}{2b}}-{\frac {Q_{1}}{2}}}$ исходя из равновесия по Курно, то можно вычислить условие максимизации для фирмы-лидера ${\displaystyle {dQ_{2} \over dQ_{1}}=-1/2}$ , с учетом этого суждения оптимальный выпуск фирмы один составит ${\displaystyle Q_{1}^{*}={\frac {2(a-c_{1})}{3b}}-{\frac {2Q_{2}}{3}}}$ - функция лидера

при этом прибыль второй фирмы и условие ее максимизации соответственно

${\displaystyle \Pi _{2}=P(Q_{1}+Q_{2})*Q_{2}-c_{2}Q_{2},{d\pi _{2} \over dQ_{2}}=a-b(Q_{1}+Q_{2})-bQ_{2}-c_{2}=0}$ , то есть фирма два считает, что выпуск фирмы один не изменится при изменении собственного выпуска, либо можно трактовать это как форму безразличия к поведению фирмы один.

${\displaystyle Q_{2}^{*}={\frac {a-c_{2}}{2b}}-{\frac {Q_{1}}{2}}}$ - функция последователя;

В соответствии с моделью Штакельберга, первая фирма — фирма-лидер — на первом шаге назначает свой выпуск Q ₁ . После этого вторая фирма — фирма-последователь — анализируя действия фирмы-лидера определяет свой выпуск Q ₂ . Целью обеих фирм является максимизация своих платёжных функций.

Разрешая систему уравнений получаем следующие оптимальный выпуск для обеих фирм:

${\displaystyle Q_{1}^{*}={\frac {a-2c_{1}+c_{2}}{2b}}}$ - фирма лидер

${\displaystyle Q_{2}^{*}={\frac {a-3c_{2}+2c_{1}}{4b}}}$ - фирма последователь

Равновесие Нэша в этой игре определяется методом обратной индукции. Рассмотрим предпоследний этап игры — ход второй фирмы. На этом этапе фирма 2 знает объем оптимального выпуска продукции первой фирмой Q ₁ ^* .

${\displaystyle Q_{1}^{*}={\frac {a-c_{1}}{2b}}-{\frac {Q_{2}}{2}}}$ .

Тогда задача определения оптимального выпуска Q ₂ ^* сводится к решению задачи нахождения точки максимума платёжной функции второй фирмы. Максимизируя функцию Π ₂ по переменной Q ₂ , считая Q ₁ заданным, находим, что оптимальный выпуск второй фирмы

${\displaystyle Q_{2}^{*}={\frac {a-c_{2}}{2b}}-{\frac {Q_{1}}{2}}}$ .

Это наилучший ответ фирмы-последователя на выбор фирмой-лидером выпуска Q ₁ ^* . Фирма-лидер может максимизировать свою платёжную функцию, учитывая вид функции Q ₂ ^* . Точка максимума функции Π ₁ по переменной Q ₁ при подстановке Q ₂ ^* в условие максимизации будет

${\displaystyle Q_{1}^{*}={\frac {2(a-c_{1})}{3b}}-{\frac {2Q_{2}}{3}}}$ .откуда, ${\displaystyle Q_{1}^{*}={\frac {a-2c_{1}+c_{2}}{2b}}}$

Подставляя это в выражение для Q ₂ ^* , получим

${\displaystyle Q_{2}^{*}={\frac {a-3c_{2}+2c_{1}}{4b}}}$

Таким образом, в равновесии фирма-лидер производит в два раза большее количество продукции, нежели фирма-последователь (при с = с ₁ = с ₂ )

${\displaystyle Q_{1}^{*}={\frac {a-c}{2b}}}$ , ${\displaystyle Q_{2}^{*}={\frac {a-c}{4b}}}$ , ${\displaystyle P^{*}={\frac {a+3c}{4}}}$ находим из уравнения ${\displaystyle P(Q)=a-bQ}$ . , ${\displaystyle P^{*}={\frac {a+2c_{1}+c_{2}}{4}}}$

В данном случае фирма-стратег получает большую прибыль, чем в равновесии Курно, когда оба олигополиста считают, что их действия не влияют друг на друга. При этом фирма последователь получает прибыль меньше, чем при равновесии Курно.

Сравнение выводов с выводами модели Курно

В модели Курно суммарный выпуск для такой же функции спроса будет ниже ${\displaystyle Q_{1}^{*}=Q_{2}^{*}={\frac {a-c}{3b}}}$ , а цена соответственно выше ${\displaystyle P^{*}={\frac {a+2c}{3}}}$ , на величину ${\displaystyle {\frac {a-c}{12}}}$ следовательно на уровне теоретических рассуждений можно предположить, что для общества в отраслях, где сложилась олигополия, выгодно выделение фирмы-лидера, обладающего значительной рыночной властью, так как существование примерно одинаковых по размерам и рыночной власти фирм (что предполагается в модели Курно) ведет к росту цены и сокращению выпуска.

См. также

• Модель Курно
• Модель Бертрана
• Равновесие Нэша