Ортотреуго́льник (или ортоцентрический треугольник ) — треугольник ${\displaystyle \triangle abc}$ , вершины которого являются основаниями высот исходного треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ . Для ортотреуго́льника ${\displaystyle \triangle abc}$ исходный треугольник ${\displaystyle \triangle ABC}$ является треугольником трёх внешних биссектрис . Точка пересечения высот исходного треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ называется ортоцентром и является центром вписанной окружности ортотреуго́льника ${\displaystyle \triangle abc}$ .

Свойства

• Задача Фаньяно : ортотреугольник остроугольного треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ обладает наименьшим периметром из всех вписанных треугольников.
• Окружность девяти точек : окружность, описанная вокруг ортотреугольника остроугольного треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ , проходит через середины сторон треугольника Δ ${\displaystyle ABC}$ и через середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ . Радиус этой окружности равен половине радиуса окружности, описанной вокруг треугольника Δ ${\displaystyle ABC}$ .
• Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортотреугольника.
• Стороны треугольника являются тремя внешними биссектрисами его ортотреугольника, таким образом треугольник является треугольником трёх внешних биссектрис своего ортотреугольника.
• Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
• Если точки ${\displaystyle A_{1}}$ , ${\displaystyle B_{1}}$ и ${\displaystyle C_{1}}$ на сторонах соответственно ${\displaystyle BC}$ , ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle AB}$ остроугольного треугольника Δ ${\displaystyle ABC}$ таковы, что ${\displaystyle \angle BA_{1}C_{1}=\angle CA_{1}B_{1}}$ , ${\displaystyle \angle CB_{1}A_{1}=\angle AB_{1}C_{1}}$ и ${\displaystyle \angle AC_{1}B_{1}=\angle BC_{1}A_{1}}$ , то ${\displaystyle A_{1}B_{1}C_{1}}$ — ортотреугольник треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ .
• Ортотреугольник треугольника Δ ${\displaystyle ABC}$ отсекает при вершинах ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ треугольники, подобные треугольнику Δ ${\displaystyle ABC}$ с коэффициентами подобия соответственно ${\displaystyle |cos(\angle A)|}$ , ${\displaystyle |cos(\angle B)|}$ , ${\displaystyle |cos(\angle C)|}$ .
• Окружности, описанные вокруг отсекаемых ортотреугольником треугольников, проходят через ортоцентр, и их центры лежат на серединах отрезков, соединяющих ортоцентр исходного треугольника с вершинами исходного треугольника.
• Если вокруг остроугольного треугольника описать окружность и в трех вершинах треугольника провести прямые, касательные к окружности, то пересечение этих прямых образует треугольник, который называют тангенциальным треугольником по отношению к исходному треугольнику, и стороны которого параллельны сторонам ортотреугольника исходного треугольника.

Свойства подобия родственных треугольников

• Ортотреугольник и тангенциальный треугольник подобны (Зетель, следствие 1, § 66, с. 81).
• Треугольник Жергонна ортотреугольника и исходный треугольник подобны (см. рисунок).
• Треугольник трёх внешних биссектрис треугольника трех внешних биссектрис и исходный треугольник подобны.
• Ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.
• Выше указанные свойства подобия родственных треугольников являются следствием ниже перечисленных свойств параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников .

Свойства параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников

• Стороны данного остроугольного треугольника антипараллельны соответствующим сторонам ортотреугольника , против которых они лежат.
• Стороны тангенциального треугольника антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника (по свойству антипараллельности касательных к окружности).
• Стороны тангенциального треугольника параллельны соответствующим сторонам ортотреугольника .
• Если точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, то получится треугольник Жергонна . Пусть в полученном треугольнике проведены высоты. Тогда прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно, ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.

Другие свойства

• Площадь ортотреугольника равна:

${\displaystyle S_{ort}={\frac {S}{(2abc)^{2}}}(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}+c^{2}-b^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})}$

где ${\displaystyle S}$ — площадь треугольника Δ ABC ; ${\displaystyle a,b,c}$ — его соответствующие стороны.

• Окружность, описанная около ортотреугольника Δ abc , для самого треугольника Δ ABC является окружностью Эйлера (окружностью 9 точек), то есть одновременно проходит, через 3 основания медиан последнего. Заметим, что эти 3 основания медиан являются вершинами дополнительного треугольника для треугольника Δ ABC .
• Радиусы окружности, описанной около данного треугольника Δ ABC , проведенные через его вершины, перпендикулярны соответственным сторонам ортотреугольника Δ abc (Зетель, следствие 2, § 66, с. 81).

Литература

• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М. : МЦНМО , 2004. — С. 38-39. — ISBN 5-94057-170-0 .
• Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.:Учпедгиз, 1962. 153 с.