Центр вписанной окружности треугольника ( инцентр ) — одна из замечательных точек треугольника , точка пересечения биссектрис треугольника . Центр вписанной в треугольник окружности также иногда называют инцентром .

Традиционно обозначается латинской буквой ${\displaystyle I}$ (по первой букве английского слова "Incenter"). В энциклопедии центров треугольника зарегистрирован под символом ${\displaystyle X(1)}$ .

Свойства

• Центр вписанной окружности треугольника находится на одинаковом расстоянии от всех сторон треугольника.

• Для треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ со сторонами ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ , противолежащими вершинам ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ соответственно, инцентр делит биссектрису угла ${\displaystyle A}$ в отношении:

  ${\displaystyle {\frac {b+c}{a}}}$ .

• Если продолжение биссектрисы угла ${\displaystyle B}$ пересекает описанную окружность ${\displaystyle \triangle ABC}$ в точке ${\displaystyle D}$ , то выполняется равенство: ${\displaystyle DA=DC=DI=DJ}$ , где ${\displaystyle J}$ — центр вневписанной окружности, касающейся стороны ${\displaystyle AC}$ ; это свойство инцентра известно как теорема трилистника (также — лемма о трезубце , теорема Клайнэра ).

• Расстояние между инцентром ${\displaystyle I}$ и центром описанной окружности ${\displaystyle O}$ выражается формулой Эйлера :

  ${\displaystyle OI^{2}=R^{2}-2Rr}$ ,

где ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle r}$ — радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно.

• Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности .

• Инцентр можно найти как центр масс вершин треугольника если в каждую вершину поместить массу, равную длине противолежащей стороны (см. также Центр Шпикера ).

• Инцентр данного треугольника является точкой Нагеля треугольника, образованного его 3 средними линиями ( серединного треугольника ).

• Лемма Веррьера . Точки касания окружностей Веррьера (полувписанных окружностей) со сторонами лежат на прямой, которая проходит через центр вписанной окружности ( инцентр ) (См. серый рис. снизу).

• Теорема Ригби . Если к любой стороне остроугольного треугольника провести высоту и касающуюся ее с другой стороны вневписанную окружность , то точка касания последней с этой стороной, середина упомянутой высоты, а также инцентр лежат на одной прямой. .

• • Из теоремы Ригби следует, что 3 отрезка, соединяющих середину каждой из 3 высот треугольника с точкой касания вневписанной окружности , проведенной к той же стороне, что и высота, пересекаются в инцентре .

• Третья теорема Тебо . Пусть ${\displaystyle ABC}$ — произвольный треугольник , ${\displaystyle D}$ — произвольная точка на стороне ${\displaystyle BC}$ , ${\displaystyle I_{1}}$ — центр окружности, касающейся отрезков ${\displaystyle AD,BD}$ и описанной около ${\displaystyle \Delta ABC}$ окружности, ${\displaystyle I_{2}}$ — центр окружности, касающейся отрезков ${\displaystyle CD,AD}$ и описанной около ${\displaystyle \Delta ABC}$ окружности. Тогда отрезок ${\displaystyle I_{1}I_{2}}$ проходит через точку ${\displaystyle I}$ — центр окружности, вписанной в ${\displaystyle \Delta ABC}$ , и при этом ${\displaystyle I_{1}I:II_{2}=\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\phi }{2}}}$ , где ${\displaystyle \phi =\angle BDA}$ .
• Слабая точка в треугольнике (weak point) та, у которой может найтись близнец с помощью её ортогонального сопряжения за пределы треугольника. Например, инцентр , Точка Нагеля и другие являются слабыми точками , ибо допускают получение аналогичных точек при их сопряжении за пределы треугольника. .

См. также

• Ортоцентр
• Центроид
• Формула Эйлера
• Лемма о трезубце

Примечания

Литература

• Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М. : Просвещение , 1991. — С. 88-90. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3 .