Фо́рмула Герона — формула для вычисления площади треугольника ${\displaystyle S}$ по длинам его сторон ${\displaystyle a,b,c}$ :

${\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$ ,

где ${\displaystyle p}$ — полупериметр треугольника: ${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}\cdot (a+b+c)}$ .

Формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I век н. э.) и названа в его честь (хотя она была известна ещё Архимеду ). Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми, такие треугольники носят название героновых , простейшим героновым треугольником является египетский треугольник .

Доказательство 2 (на основе теоремы Пифагора):

По теореме Пифагора имеем следующие равенства для гипотенуз: a ² = h ² + ( c − d ) ² и b ² = h ² + d ² — см. рисунок справа. Вычитая из первого равенства второе, получаем a ² − b ² = c ² − 2 cd . Это уравнение позволяет нам выразить d через стороны треугольника:

${\displaystyle d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}}$

Для высоты h у нас было равенство h ² = b ² − d ² , в которое можно подставить полученное выражение для d и применить формулы для квадратов :

${\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {((b+c)^{2}-a^{2})(a^{2}-(b-c)^{2})}{4c^{2}}}={\frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\\end{aligned}}}$

Замечая, что ${\displaystyle b+c-a=2p-2a}$ , ${\displaystyle a+b+c=2p}$ , ${\displaystyle a+b-c=2p-2c}$ , ${\displaystyle a-b+c=2p-2b}$ , получаем:

${\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&={\frac {2(p-a)\cdot 2p\cdot 2(p-c)\cdot 2(p-b)}{4c^{2}}}={\frac {4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^{2}}}\end{aligned}}}$

Используя основное равенство для площади треугольника ${\displaystyle S={\frac {ch}{2}}}$ и подставляя в него полученное выражение для h , в итоге имеем:

${\displaystyle {\begin{aligned}S={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^{2}}}}}={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}\end{aligned}}}$

ч.т.д.

Вариации и обобщения

• Выразив полупериметр через полусумму всех сторон данного треугольника, можно получить три эквивалентные формулы Герона:

  ${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}$

  ${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}$

  ${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}.}$

  ${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}.}$

• Формулу Герона можно записать с помощью определителя в виде :

  ${\displaystyle -16S^{2}={\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a&b&c&0\\b&a&0&c\\c&0&a&b\\0&c&b&a\end{vmatrix}}}$

Первый определитель последней формулы является частным случаем для вычисления гиперобъёма симплекса .

• Ряд формул для площади треугольника сходен по структуре формуле Герона, но выражается через другие параметры треугольника. Например, через длины медиан ${\displaystyle m_{a}}$ , ${\displaystyle m_{b}}$ и ${\displaystyle m_{c}}$ и их полусумму ${\displaystyle \sigma =(m_{a}+m_{b}+m_{c})/2}$ :

  ${\displaystyle S={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}}$ ;

через длины высот ${\displaystyle h_{a}}$ , ${\displaystyle h_{b}}$ и ${\displaystyle h_{c}}$ и полусумму их обратных величин ${\displaystyle H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2}$ :

${\displaystyle S^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}}$ ;

через углы треугольника ${\displaystyle \alpha }$ , ${\displaystyle \beta }$ и ${\displaystyle \gamma }$ , полусумму их синусов ${\displaystyle s=(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma )/2}$ и диаметр описанной окружности ${\displaystyle D={\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}}$ :

${\displaystyle S=D^{2}{\sqrt {s(s-\sin \alpha )(s-\sin \beta )(s-\sin \gamma )}}.}$

• Площадь вписанного в окружность четырёхугольника вычисляется по формуле Брахмагупты :

  ${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}$ ,

где ${\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}}}$ — полупериметр четырёхугольника; в данном случае треугольник оказывается предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю. Та же формула Брахмагупты через определитель :

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatrix}}}}}$

• Для тетраэдров верна формула Герона — Тартальи , которая обобщена также на случай других многогранников ( изгибаемые многогранники ): если у тетраэдра длины рёбер равны ${\displaystyle l_{1},l_{2},l_{3},l_{4},l_{5},l_{6}}$ , то для его объёма ${\displaystyle V}$ верно выражение:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}144V^{2}=\;\;&l_{1}^{2}l_{5}^{2}(l_{2}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{6}^{2}-l_{1}^{2}-l_{5}^{2})\\+&l_{2}^{2}l_{6}^{2}(l_{1}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{5}^{2}-l_{2}^{2}-l_{6}^{2})\\+&l_{3}^{2}l_{4}^{2}(l_{1}^{2}+l_{2}^{2}+l_{5}^{2}+l_{6}^{2}-l_{3}^{2}-l_{4}^{2})\\-&l_{1}^{2}l_{2}^{2}l_{4}^{2}-l_{2}^{2}l_{3}^{2}l_{5}^{2}-l_{1}^{2}l_{3}^{2}l_{6}^{2}-l_{4}^{2}l_{5}^{2}l_{6}^{2}\end{aligned}}}$ .

• Формула Герона — Тартальи может быть выписана для тетраэдра в явном виде: если ${\displaystyle U}$ , ${\displaystyle V}$ , ${\displaystyle W}$ , ${\displaystyle u}$ , ${\displaystyle v}$ , ${\displaystyle w}$ являются длинами рёбер тетраэдра (первые три из них образуют треугольник; и, например, ребро ${\displaystyle u}$ противоположно ребру ${\displaystyle U}$ и так далее), тогда справедливы формулы :

  ${\displaystyle {\text{V}}={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+d)\,(a+b+c-d)}}{192\,u\,v\,w}}}$

где:

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz}}\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+w)\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v)\\z&=(W-u+v)\,(u-v+W)\end{aligned}}}$ .

• По теореме Люилье площадь сферического треугольника выражается через его стороны ${\displaystyle \theta _{a}={\frac {a}{R}},\theta _{b}={\frac {b}{R}},\theta _{c}={\frac {c}{R}}}$ как:

  ${\displaystyle S=4R^{2}\,\operatorname {arctg} {\sqrt {\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}}}$ ,

где ${\displaystyle \theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}}$ — полупериметр.

Примечания

Литература

• § 258 в А. П. Киселёв. " Геометрия по Киселёву ". arXiv : [ ].
• Николаев Н. (рус.) // В.О.Ф.Э.М. . — 1890. — № 108 . — С. 227—228 .
• Raifaizen, Claude H. (англ.) // Mathematics Magazine : magazine. — 1971. — Vol. 44 . — P. 27—28 . — доказательство формулы Герона на основе теоремы Пифагора