Точка Штейнера — одна из замечательных точек треугольника и она обозначается как точка X(99) в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга (Clark Kimberling).

История

Якоб Штейнер (Jakob Steiner) (1796—1863), швейцарский математик, описал эту точку в 1826 году. Этой точке было дано имя Штейнера Жозефом Нойбергом (Joseph Neuberg) в 1886 году .

Определение

Точка Штейнера определяется следующим образом. (Мы используем не тот способ, каким эту точку определял сам Штейнер. )

Пусть дан любой треугольник ${\displaystyle ABC}$ . Пусть ${\displaystyle O}$ — его центр описанной окружности и ${\displaystyle K}$ — точка пересечения симедиан . Окружность , построенная на ${\displaystyle OK}$ как на диаметре, представляет собой окружность Брокара треугольника ${\displaystyle ABC}$ . Прямая, проходящая через ${\displaystyle O}$ перпендикулярно к прямой ${\displaystyle BC}$ , пересекает окружность Брокара в другой точке ${\displaystyle A'}$ . Прямая, проходящая через ${\displaystyle O}$ перпендикулярно к прямой ${\displaystyle CA}$ , пересекает окружность Брокара в другой точке ${\displaystyle B'}$ . Прямая, проходящая через ${\displaystyle O}$ перпендикулярно к прямой ${\displaystyle AB}$ , пересекает окружность Брокара в другой точке ${\displaystyle C'}$ (треугольник ${\displaystyle A'B'C'}$ есть треугольник Брокара для треугольника ${\displaystyle ABC}$ ). Пусть ${\displaystyle L_{A}}$ есть прямая, проходящая через ${\displaystyle A}$ параллельно прямой ${\displaystyle B'C'}$ , ${\displaystyle L_{B}}$ есть прямая, проходящая через ${\displaystyle B}$ параллельно прямой ${\displaystyle C'A'}$ , и ${\displaystyle L_{C}}$ есть прямая, проходящая через ${\displaystyle C}$ параллельно прямой ${\displaystyle A'B'}$ . Тогда все три прямых ${\displaystyle L_{A}}$ , ${\displaystyle L_{B}}$ и ${\displaystyle L_{C}}$ пересекаются в одной точке. Точка их пересечения и есть точка Штейнера треугольника ${\displaystyle ABC}$ .

Трилинейные координаты

Трилинейные координаты точки Штейнера равны

${\displaystyle \left({\frac {bc}{b^{2}-c^{2}}}:{\frac {ca}{c^{2}-a^{2}}}:{\frac {ab}{a^{2}-b^{2}}}\right)=(b^{2}c^{2}\operatorname {cosec} (B-C):c^{2}a^{2}\operatorname {cosec} (C-A):a^{2}b^{2}\operatorname {cosec} (A-B))}$ .

Свойства

• Описанный вокруг треугольника ${\displaystyle ABC}$ эллипс, который также называется эллипсом Штейнера , является эллипсом наименьшей площади, который проходит через вершины ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ . Точка Штейнера треугольника ${\displaystyle ABC}$ лежит на описанном вокруг треугольника ${\displaystyle ABC}$ эллипсе Штейнера .
• Хонсбергер (Honsberger) установил следующее свойство точки Штейнера : Точка Штейнера треугольника является центром масс системы, полученной подвешиванием в каждой вершине массы, равной величине внешнего угла при этой вершине.
• Точка Штейнера не обладает этим свойством. Центр масс системы, полученной подвешиванием в каждой вершине треугольника ${\displaystyle ABC}$ массы, равной величине внешнего угла в этой вершине, не является точкой Штейнера . Этот центр массы называется центроидом кривизны Штейнера ( Steiner curvature centroid ) треугольника ${\displaystyle ABC}$ и имеет трилинейные координаты :

${\displaystyle \left({\frac {\pi -A}{a}}:{\frac {\pi -B}{b}}:{\frac {\pi -C}{c}}\right)}$ .

Этот треугольный центр обозначается как X(1115) в энциклопедии центров треугольника .

• Прямая Симсона точки Штейнера треугольника ${\displaystyle ABC}$ параллельна прямой ${\displaystyle OK}$ , где ${\displaystyle O}$ — центр описанной окружности и ${\displaystyle K}$ — точка пересечения трёх симедиан ( точка Лемуана ) треугольника ${\displaystyle ABC}$ .

Точка Тарри

Точка Тарри треугольника тесно связана с точкой Штейнера треугольника. Пусть ${\displaystyle ABC}$ — любой данный треугольник. Точка на описанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC}$ , диаметрально противоположная к точке Штейнера треугольника, называется точкой Тарри треугольника ${\displaystyle ABC}$ . Точка Тарри представляет собой центр треугольника и он обозначен как центр X(98) в энциклопедии центров треугольника . Трилинейные координаты точки Тарри равны

${\displaystyle (\operatorname {sec} (A+\omega ):\operatorname {sec} (B+\omega ):\operatorname {sec} (C+\omega ))}$ ,

где ${\displaystyle \omega }$ является углом Брокара треугольника ${\displaystyle ABC}$ .

Примечания

См. также

• Центр Штейнера — центр тяжести кривизны Гаусса поверхности выпуклого тела.