В планиметрии изотоми́ческим сопряже́нием называется одно из преобразований плоскости, порождаемое заданным на плоскости треугольником ABC .

Определение

Пусть дан треугольник ${\displaystyle ABC}$ , у которого ${\displaystyle A_{0}}$ — середина стороны ${\displaystyle BC}$ , ${\displaystyle B_{0}}$ — середина ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle C_{0}}$ — середина стороны ${\displaystyle AB}$ . Пусть также на плоскости выбрана произвольная точка ${\displaystyle P}$ , не лежащая на прямых, содержащих его стороны. Тогда рассмотрим прямые ${\displaystyle AP}$ , ${\displaystyle BP}$ и ${\displaystyle CP}$ . Пусть они пересекают прямые, содержащие противолежащие стороны треугольника, соответственно в точках ${\displaystyle A_{1}}$ , ${\displaystyle B_{1}}$ и ${\displaystyle C_{1}}$ (если прямые окажутся параллельными, точкой пересечения считается бесконечно удалённая точка прямой). Согласно теореме Чевы , ${\displaystyle {\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}\cdot {\frac {BA_{1}}{A_{1}C}}\cdot {\frac {CB_{1}}{B_{1}A}}=1}$ . Если теперь точки ${\displaystyle A_{1}}$ , ${\displaystyle B_{1}}$ и ${\displaystyle C_{1}}$ симметрично отразить относительно ${\displaystyle A_{0}}$ , ${\displaystyle B_{0}}$ и ${\displaystyle C_{0}}$ соответственно, получатся точки ${\displaystyle A_{2}}$ , ${\displaystyle B_{2}}$ и ${\displaystyle C_{2}}$ (бесконечно удалённая точка переходит сама в себя). Поскольку ${\displaystyle AC_{1}=BC_{2}}$ , ${\displaystyle AC_{2}=BC_{1}}$ и так же для остальных пар точек, получаем ${\displaystyle 1={\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}\cdot {\frac {BA_{1}}{A_{1}C}}\cdot {\frac {CB_{1}}{B_{1}A}}={\frac {BC_{2}}{C_{2}A}}\cdot {\frac {CA_{2}}{A_{2}B}}\cdot {\frac {AB_{2}}{B_{2}C}}}$ и, согласно той же теореме Чевы , прямые ${\displaystyle AA_{2}}$ , ${\displaystyle BB_{2}}$ и ${\displaystyle CC_{2}}$ пересекаются в одной точке ${\displaystyle P'}$ . Эта точка называется изотомически сопряжённой точке ${\displaystyle P}$ относительно треугольника ${\displaystyle ABC}$ .

Изотомическое сопряжение устанавливает взаимно-однозначное соответствие между точками плоскости с исключёнными прямыми ${\displaystyle AB}$ , ${\displaystyle BC}$ и ${\displaystyle AC}$ . На этих прямых соответствие не является взаимно-однозначным, так любой точке прямой ${\displaystyle BC}$ соответствует вершина ${\displaystyle A}$ (и наоборот, вершине ${\displaystyle A}$ — всякая точка ${\displaystyle BC}$ ) и так далее.

Координаты

Если барицентрические координаты точки ${\displaystyle P}$ суть ${\displaystyle (p:q:r)}$ , то барицентрические координаты изотомически сопряжённой ей точки ${\displaystyle P'}$ суть ${\displaystyle \left({\frac {1}{p}}:{\frac {1}{q}}:{\frac {1}{r}}\right)}$ .

Если трилинейные координаты точки ${\displaystyle P}$ суть ${\displaystyle (p:q:r)}$ , то трилинейные координаты изотомически сопряжённой ей точки ${\displaystyle P'}$ суть ${\displaystyle \left({\frac {1}{a^{2}p}}:{\frac {1}{b^{2}q}}:{\frac {1}{c^{2}r}}\right)}$ .

Другое определение

Если вместо симметричной чевианы брать чевиану, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется изотомическим сопряжением . Оно также переводит прямые в описанные коники . При аффинных преобразованиях изотомически сопряжённые точки переходят в изотомически сопряжённые . При изотомическом сопряжении в перейдёт описанный эллипс Штейнера .

Свойства

• Изотомическое сопряжение является инволюцией , то есть его квадрат тривиален.

• Неподвижными точками (то есть переходящими сами в себя) изотомического сопряжения являются центроид (другие названия: барицентр или центр масс, то есть точка пересечения медиан) треугольника ${\displaystyle ABC}$ и точки, симметричные вершинам треугольника относительно середин противолежащих сторон.
• Точки Жергонна и Нагеля изотомически сопряжены .
• Точке Лемуана (точке пересечения симедиан) треугольника изотомически сопряжена его точка Брокара .
• Точке пересечения биссектрис ( инцентру ) изотомически сопряжена точка пересечения антибиссектрис ,
• Прямые общего положения относительно треугольника при изотомическом сопряжении переходят в описанные вокруг него коники , и наоборот.

См. также

• Изогональное сопряжение
• Изоциркулярное преобразование

Ссылки