Прямая Симсона — прямая, проходящая через основания перпендикуляров на стороны треугольника из точки на его описанной окружности. Её существование опирается на теорему Симсона .

Теорема Симсона

Основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки ${\displaystyle P}$ описанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC}$ на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Симсона .

Верно и обратное утверждение: если основания перпендикуляров, опущенные из точки ${\displaystyle P}$ на стороны треугольника ${\displaystyle ABC}$ или их продолжения, лежат на одной прямой, то точка ${\displaystyle P}$ лежит на описанной окружности треугольника.

История

Открытие этой прямой долго приписывалось Роберту Симсону (1687—1768), но в действительности она была открыта лишь в 1797 году шотландским математиком Уильямом Уоллесом . Поэтому, наряду с традиционным названием этой прямой, часто используется исторически более справедливое название: «прямая Уоллеса» .

Свойства

• Пусть ${\displaystyle H}$ — ортоцентр треугольника ${\displaystyle ABC}$ . Тогда прямая Симсона произвольной точки ${\displaystyle P}$ на описанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC}$ делит отрезок ${\displaystyle PH}$ пополам в точке, лежащей на окружности девяти точек .

• Если P и Q являются точками на описанной окружности, то угол между прямыми Симсона точек P и Q равен половине угла дуги PQ .
  • В частности, если 2 точки на описанной окружности диаметрально противоположны, их прямые Симсона перпендикулярны, и в этом случае точка пересечения 2 перпендикулярных прямых Симсона также лежит на окружности девяти точек . При этом вторые точки пересечения 2 перпендикулярных прямых Симсона с окружностью девяти точек будут концами диаметра последней окружности.

• Для двух данных треугольников с одной и той же описанной окружностью, угол между прямыми Симсона точки P на окружности для обоих треугольников не зависит от P .

Прямая Симсона и треугольник Морлея

• На описанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC}$ существуют ровно три точки, таких что их прямая Симсона касается окружности Эйлера треугольника ${\displaystyle ABC}$ , причем эти точки образуют правильный треугольник . Стороны этого треугольника параллельны сторонам треугольника Морлея .

Прямая Симсона и прямая Штейнера

• Точки, симметричные точке P на описанной окружности относительно сторон треугольника лежат на одной прямой, проходящей через ортоцентр. Эта прямая ( прямая Штейнера ) параллельна прямой Симсона и переходит в нее при гомотетии с коэффициентом 1/2

Прямая Симсона и точка Фейербаха

• Точка Фейербаха , то есть точка касания вписанной или вневписанной окружности с окружностью девяти точек, является точкой пересечения двух прямых Симсона, построенных для концов диаметра описанной окружности, проходящего через соответствующий центр вписанной или вневписанной окружности. .
  • В частности, точки Фейербаха могут быть построены без использования соответствующей вписанной или вневписанной окружности и касающейся её окружности Эйлера .

Прямая Симсона и дельтоида

• Огибающая семейства прямых Симсона данного треугольника , есть дельтоида — так называемая дельтоида Штейнера .
  • Якоб Штейнер открыл дельтоиду , как частную гипоциклоиду , которая описывается произвольной фиксированной точкой окружности, которая катится без скольжения внутри окружности в 3 раза большего диаметра. А то, что множество всех возможных линий Симсона, которые могут быть изображены для данного треугольника, имеют огибающую в форме дельтоиды, открыто примерно 100 лет назад и совсем не Штейнером .

Прямая Симсона и ортополюс

• Если ортополюс лежит на прямой Симсона, то его линия ℓ перпендикулярна ей .
• Если прямая ℓ ортополюса пересекает описанную окружность треугольника в двух точках P и Q , то сам ортополюс лежит на пересечении двух прямых Симсона двух последних точек P и Q .
• Если прямая ℓ ортополюса является прямой Симсона точки P , то точка P называется полюсом прямой Симсона ℓ

Уравнение прямой Симсона

• Помещая треугольник на комплексную плоскость, предположим, что треугольник ABC вписан в единичную окружность и имеет вершины, комплексные координаты которых есть a , b , c , и пусть P с комплексной координатой p является точкой на окружности. Тогда прямая Симсона описывается следующим уравнением на z :

  ${\displaystyle 2abc{\bar {z}}-2pz+p^{2}+(a+b+c)p-(bc+ca+ab)-{\frac {abc}{p}}=0,}$

где черта сверху указывает на комплексное сопряжение .

Вариации и обобщения

• Ни один выпуклый многоугольник, имеющий не менее 5 сторон, не имеет прямой Симсона.
• Если из данной точки ${\displaystyle P}$ описанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC}$ провести прямые под данным ориентированным углом к сторонам, то три полученных точки пересечения будут лежать на одной прямой.
• Прямую Симсона можно определить для любого вписанного ${\displaystyle n}$ -угольника по индукции следующим образом: прямой Симсона точки ${\displaystyle P}$ относительно данного ${\displaystyle n}$ -угольника назовем прямую, содержащую проекции точки ${\displaystyle P}$ на прямые Симсона всех ${\displaystyle (n-1)}$ -угольников, полученных выбрасыванием одной вершины ${\displaystyle n}$ -угольника.
• Теорема Сальмона
• Подерный треугольник — треугольник, вершинами которого являются основания перпендикуляров, опущенных из точки на стороны треугольника; в случае когда точка лежит на описанной окружности подерный треугольник вырождается и его вершины лежат на прямой Симсона.

• Пусть ABC — треугольник, и пусть прямая ℓ (зеленая на рисунке) проходит через центр X ₃ описанной окружности, а точка P лежит на окружности. Пусть AP, BP, CP пересекают прямую ℓ соответственно в точках A _p , B _p , C _p . Пусть A ₀ , B ₀ , C ₀ представляют собой проекции точек A _p , B _p , C _p соответственно на прямые BC, CA, AB . Тогда 3 точки A ₀ , B ₀ , C ₀ коллинеарные точки , то есть лежат на одной прямой. Кроме того, проходящая через них, прямая одновременно проходит через середину отрезка PH , где H является ортоцентром треугольника ABC . Если ℓ проходит через P , то прямая совпадёт с прямой Симсона.

Примеры

• Прямая Симсона точки Штейнера треугольника ${\displaystyle ABC}$ параллельна прямой ${\displaystyle OK}$ , а прямая Симсона точки Тарри перпендикулярна прямой ${\displaystyle OK}$ , где ${\displaystyle O}$ — центр описанной окружности и ${\displaystyle K}$ — точка пересечения трёх симедиан ( точка Лемуана ) треугольника ${\displaystyle ABC}$ .

Примечания

Литература

• Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство) / Под ред. А.П. Нордена. — М. : Физматлит, 1960.
• В. Березин. (рус.) // Квант . — 1977. — № 3 . — С. 19 .
• E. H. Lockwood. Chapter 8: The Deltoid // A Book of Curves (неопр.) . — Cambridge University Press , 1961.
• College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 p.‎// P. 140-149, 158, 165, 252, 273, 284, 288, 289

Ссылки

• at cut-the-knot .org
• F. M. Jackson and Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• at , an interactive dynamic geometry sketch.