Трилинейные поляры треугольника — некоторые специальные виды прямой линии , связанные с плоскостью треугольника и лежащие в плоскости треугольника. Трилинейная поляра точки Y (полюса) относительно невырожденного треугольника это — прямая линия, определяемая следующим построением. Если продолжить стороны чевианного треугольника некоторой точки и взять их точки пересечения с соответствующими сторонами, то полученные точки пересечения будут лежать на одной прямой, называемой трилинейной исходной точки (на рис. дано построение трилинейной поляры EDF красной точки Y ). Здесь чевианный треугольник — треугольник, тремя вершинами которого являются три основания чевиан исходного треугольника.

Свойства

Трилинейная поляра EDF пересекает три продолжения трех сторон опорного треугольника ABC в трех точках так, что вместе с двумя концами сторон треугольника и с соответствующим основанием одной из трех чевиан образует гармоническую четвёрку точек , лежащих на каждой из трех сторон, включая их продолжения. На рис. справа выше это - три гармонические четвёрки точек: 1) B,C',A,F, 2) B,A',C,D, 3) A,B',C,E.

Примеры трилинейных поляр треугольника

• Трилинейной полярой центра вписанной окружности (инцентра) служит ось внешних биссектрис или антиортовая ось DEF (antiorthic axis) (см. рис.). На ней лежат все три основания D , E и F трех внешних биссектрис соответственно AD , CE и BF внешних углов треугольника ABC .

• Ортоцентрическая ось (Orthic axis) — трилинейная поляра ортоцентра (см. рис.)

• Бесконечно удаленная прямая — трилинейная поляра центроида (см. рис.)

• Трилинейная полярой точки Лемуана служит ось Лемуана (см. рис.)

• Трилинейная полярой центра описанной окружности служит прямая EDF (см. рис.)

• Трилинейнай полярой точки Коснита , изогонально сопряженной для центра окружности девяти точек , служит прямая EDF (см. рис.)

• Трилинейные поляры точек, лежащих на описанной конике , пересекаются в одной точке (для описанной окружности это — точка Лемуана , для описанного эллипса Штейнера — центроид )
• Композиция изогонального (или изотомического ) сопряжения и трилинейной поляры является преобразованием двойственности . Это означает то, что если точка, изогонально ( изотомически ) сопряжённая точке ${\displaystyle X}$ , лежит на трилинейной поляре точки ${\displaystyle Y}$ , тогда трилинейная поляра точки, изогонально ( изотомически ) сопряжённой точке ${\displaystyle Y}$ лежит на трилинейной поляре точки ${\displaystyle X}$ .

Ортоцентрическая ось — трилинейная поляра ортоцентра показана красным цветом.

Вариации и обобщения

• Существуют также понятие поляры точки P относительно невырожденной кривой второго порядка .
• Трилинейная поляра точки Y , изогонально сопряженной для точки X треугольника, называется центральной линией точки X .

См. также

• Центральная линия (геометрия)
• Полюс и поляра

Примечания