Существует единственное аффинное преобразование , которое переводит правильный треугольник в данный треугольник. Образ вписанной окружности правильного треугольника при таком преобразовании является эллипсом , который называют вписанным эллипсом Штейнера , а образ описанной окружности также является эллипсом, который называют описанным эллипсом Штейнера .

Определение вписанного эллипса Штейнера

• В треугольник можно вписать бесконечно много эллипсов .
• Однако в треугольник можно вписать единственный эллипс , который касается сторон в их серединах. Такой эллипс называется вписанным эллипсом Штейнера . Его перспектором будет центроид треугольника .
• Определение перспектора коники (включая конику-эллипс) см. ниже.

Определение описанного эллипса Штейнера

• Около треугольника можно описать бесконечно много эллипсов .
• Однако около треугольника можно описать единственный эллипс , который касается прямых, проходящих через вершины и параллельных сторонам. Такой эллипс называется описанным эллипсом Штейнера .
• Фокусы описанного эллипса Штейнера называют точками Скутина .
• Чевианы , проведённые через фокусы описанного эллипса Штейнера ( точки Скутина ), равны ( теорема Скутина ).

Аффинное преобразование эллипса Штейнера

Если аффинным преобразованием («перекосом») перевести произвольный разносторонний треугольник в правильный треугольник , то его вписанный и описанный эллипсы Штейнера перейдут во вписанную и описанную окружности .

Определение перспектора коники

• В треугольник можно вписать бесконечно много коник ( эллипсов , парабол или гипербол ).
• Если в треугольник вписать произвольную конику и соединить точки касания с противоположными вершинами, то получившиеся прямые пересекутся в одной точке, называемой перспектором коники .
• Для любой точки плоскости, не лежащей на стороне или на её продолжении существует вписанная коника с перспектором в этой точке .

Свойства

• Вписанный эллипс Штейнера имеет наибольшую площадь среди всех эллипсов, вписанных в данный треугольник, а описанный — наименьшую среди всех описанных .
• Вписанный эллипс Штейнера — эллипс, вписанный в треугольник и касающийся его сторон в серединах .

• ( Теорема Мардена ) фокусы вписанного эллипса Штейнера являются экстремальными точками многочлена третьей степени с корнями в вершинах треугольника на комплексной плоскости.
• Перспекторы вписанных в треугольник парабол лежат на описанном эллипсе Штейнера . Фокус вписанной параболы лежит на описанной окружности , а директриса проходит через ортоцентр . Парабола , вписанная в треугольник , имеющая директрисой прямую Эйлера , называется параболой Киперта . Её перспектор — четвёртая точка пересечения описанной окружности и описанного эллипса Штейнера , называемая точкой Штейнера .

Примечания

См. также

• Теорема Мардена
• Треугольник