Теорема Ван-Обеля — классическая теорема аффинной геометрии .

Формулировка

Если прямые ${\displaystyle AP}$ , ${\displaystyle BP}$ , ${\displaystyle CP}$ пересекают соответственно прямые ${\displaystyle BC}$ , ${\displaystyle CA}$ и ${\displaystyle AB}$ , содержащие стороны треугольника ${\displaystyle ABC}$ соответственно в точках ${\displaystyle A_{1}}$ , ${\displaystyle B_{1}}$ и ${\displaystyle C_{1}}$ , то имеет место равенство отношений направленных отрезков :

${\displaystyle {\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}+{\frac {AB_{1}}{B_{1}C}}={\frac {AP}{PA_{1}}}}$ .

Замечания

• Если отрезки сонаправлены (одинаково направлены), то верхние знаки направленных отрезков можно убрать, и мы получим скалярный вариант теоремы Ван-Обеля:

  ${\displaystyle {\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}+{\frac {AB_{1}}{B_{1}C}}={\frac {AP}{PA_{1}}}}$ .

О доказательствах

Обычно доказывается применением метода центров масс; доказательство можно также построить на основе теоремы Менелая .

См. также

• Отношение направленных отрезков
• Теорема Менелая
• Теорема Чевы