Пространство Харди — особый вид функциональных пространств в комплексном анализе , аналог ${\displaystyle L^{p}}$ -пространства из функционального анализа . Названо по имени английского математика Харди .

Определение

Пространство Харди ${\displaystyle \ H^{p}}$ при ${\displaystyle 0<p<\infty }$ — это класс голоморфных функций на открытом единичном круге на комплексной плоскости , удовлетворяющих следующему условию

${\displaystyle \sup _{0<r<1}\left({\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\left|f(re^{i\theta })\right|^{p}\;d\theta \right)^{\frac {1}{p}}<\infty .}$

Левая часть этого неравенства называется ${\displaystyle \ p}$ - нормой в пространстве Харди или просто нормой Харди для ${\displaystyle \ f}$ , и обозначается ${\displaystyle \ |f|_{H^{p}}}$ . Как и в случае ${\displaystyle L^{p}}$ -пространств, данная норма обобщается на случай ${\displaystyle p=\infty }$ как

${\displaystyle |f|_{H^{\infty }}\ =\ \sup _{0<r<1}\sup _{z:\ |z|=r}|f(z)|\ =\ \sup _{z:\ |z|<1}|f(z)|.}$

Для случая ${\displaystyle 0<p<q\leq \infty }$ можно показать, что ${\displaystyle \ H^{q}}$ является подмножеством множества ${\displaystyle \ H^{p}}$ .

Применения

Подобные пространства применяются как в классическом математическом анализе , так и в других ветвях анализа и его приложениях, например, гармоническом анализе , теории управления (в частности, для синтеза робастных систем управления ) и .

См. также

• H∞-управление
• Теорема Фату