Схе́ма — математическая абстракция , позволяющая связать алгебраическую геометрию , коммутативную алгебру и дифференциальную геометрию и переносить идеи из одной области в другую. В первую очередь понятие схемы позволяет перенести геометрическую интуицию и геометрические конструкции, такие как тензорные поля , расслоения и дифференциалы , в теорию колец . Исторически теория схем возникла с целью обобщения и упрощения классической алгебраической геометрии итальянской школы XIX века, занимавшейся исследованием полиномиальных уравнений .

Основным аппаратом теории схем являются теория категорий , теория пучков , коммутативная и гомологическая алгебра .

В дальнейшем изложении слово «кольцо» всегда означает «коммутативное ассоциативное кольцо с единицей».

История и мотивировка определения

Алгебраические геометры итальянской школы использовали довольно туманную концепцию « общей точки » при доказательстве теорем об алгебраических многообразиях . Предполагалось, что утверждения, верные для общей точки, верны для всех точек многообразия, за исключением небольшого числа «специальных» точек. Эмми Нётер в 1920-х годах предложила способ прояснения этой концепции: в координатном кольце алгебраического многообразия (то есть в кольце полиномиальных функций на многообразии) максимальные идеалы соответствуют точкам многообразия, а немаксимальные простые идеалы соответствуют различным общим точкам — по одной для каждого подмногообразия. Впрочем, Нётер не стала развивать этот подход.

В 1930-х годах Вольфганг Крулль сделал следующий шаг: взяв совершенно произвольное коммутативное кольцо, можно рассмотреть множество его простых идеалов, снабдить топологией Зарисского и развивать геометрию этих более общих объектов. Другие математики не видели смысла в столь большой общности, и Крулль забросил эту идею.

В 1950-х годах Жан-Пьер Серр , Клод Шевалле и Масаёси Нагата с целью приблизиться к доказательству гипотез Вейля , начали использовать сходный подход, рассматривающий простые идеалы как точки. Согласно Пьеру Картье , слово схема было впервые использовано в 1956 году на семинаре Шевалле .

После этого Александр Гротендик дал современное определение схемы, подводящее итог предыдущим экспериментальным предложениям. Он по-прежнему определяет спектр коммутативного кольца как множество простых идеалов с топологией Зарисского, но также снабжает его пучком колец: каждому открытому подмножеству спектра сопоставляется коммутативное кольцо, по аналогии с кольцом полиномиальных функций на этом множестве. Получившиеся объекты суть аффинные схемы; общие схемы получаются склейкой нескольких аффинных схем, по аналогии с тем, как общие алгебраические многообразия получаются склейкой аффинных многообразий , а обычные многообразия — склейкой открытых подмножеств ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ .

Многие критиковали это определение за чрезмерную общность: некоторые схемы в этом смысле не имеют очевидной геометрической интерпретации. Однако принятие этих схем к рассмотрению делает свойства категории всех схем более «разумными». Кроме того, изучение пространств модулей приводит к схемам, не являющимся «классическими». Необходимость рассмотрения схем, которые не являются сами по себе алгебраическими многообразиями (но построены из многообразий) привела к постепенному принятию нового определения.

Определение

Одно из базовых понятий теории схем — локально окольцованные пространства .

Окольцованное пространство — это топологическое пространство , на котором задан пучок колец, называемый структурным пучком . Пространство называется локально окольцованным , если слой пучка в каждой точке является локальным кольцом . Основные объекты изучения дифференциальной геометрии и топологии являются локально окольцованными пространствами; в качестве структурного пучка при этом выступает соответствующий пучок функций . Например, топологическим пространствам соответствует пучок непрерывных функций , гладким многообразиям — пучок гладких функций , комплексным многообразиям — пучок голоморфных функций . Утверждение о том, что слой пучка является локальным кольцом, означает, что для любого элемента кольца структурного пучка можно определить его значения в каждой точке, принадлежащие некоторому полю , так что элементы структурного пучка действительно можно рассматривать как функции. Отметим, что в общем случае такая «функция» не определяется своими поточечными значениями, хотя в классической геометрии аналога этому явлению нет.

Аффинная схема — это локально окольцованное пространство , изоморфное спектру некоторого кольца с соответствующим ему структурным пучком . Эти определения позволяют рассматривать любое открытое подмножество ${\displaystyle \mathrm {Spec} \;A}$ как схему, при этом для аффинных схем выполняется тождество ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathrm {Spec} \;A}(\mathrm {Spec} \;A)=A}$ , что означает эквивалентность геометрического и алгебраического взгляда на кольцо (а именно, любому кольцу можно сопоставить аффинную схему, и по аффинной схеме можно однозначно восстановить исходное кольцо).

Схема — это локально окольцованное пространство ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ , допускающее покрытие открытыми множествами ${\displaystyle U_{i}}$ , такое что каждое ${\displaystyle U_{i}}$ вместе с ограничением на него структурного пучка ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ является аффинной схемой. Это определение можно понимать разными способами: можно считать, что у каждой точки схемы имеется окрестность , являющаяся аффинной схемой, также можно думать о схеме как о результате склейки множества аффинных схем, согласующейся со структурой пучка.

Категория схем

Схемы образуют категорию , морфизмы которой — морфизмы схем как локально окольцованных пространств .

Конструкция, снабжающая спектр структурным пучком, определяет контравариантный функтор :

${\displaystyle \mathrm {Spec} \colon \mathrm {CRing} \to \mathrm {Aff} }$

из категории колец в категорию аффинных схем. Имеется также обратный контравариантный функтор:

${\displaystyle {\mathcal {O}}\colon \mathrm {Aff} \to \mathrm {CRing} }$ ( функтор глобальных сечений ),

сопоставляющий локально окольцованному пространству ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ кольцо ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(X)}$ его структурного пучка. Эта пара функторов задаёт эквивалентность категорий ${\displaystyle \mathrm {CRing^{op}} \simeq \mathrm {Aff} }$ . Функтор глобальных сечений можно определить для произвольных схем, так как любая схема является локально окольцованным пространством. В этой общности функтор спектра сопряжён справа функтору глобальных сечений:

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\rm {Schemes}}(X,\;\mathrm {Spec} \;A)\simeq \mathrm {Hom} _{\rm {CRing^{op}}}({\mathcal {O}}(X),\;A)\simeq \mathrm {Hom} _{\rm {CRing}}(A,\;{\mathcal {O}}(X))}$

Спектр полагается правым сопряжённым, так как склейки аффинных схем могут порождать схемы, не являющиеся аффинными. Склейка схем по пустой подсхеме является копределом в категории схем. Так как ${\displaystyle \mathrm {CRing} ^{op}}$ кополна , то при условии левой сопряжённости спектра любая склейка аффинных схем была бы аффинной, и нетривиальная (не сводящаяся к теории колец) теория схем просто не могла бы существовать. В свете сказанного отметим также, что, хотя диаграмма склейки аффинных схем по подсхеме лежит в кополной категории аффинных схем, её предел требуется вычислять в большей категории — категории всех схем. Это поучительный пример того, что функтор вложения категорий не обязан сохранять пределы.

Существование приведённых выше сопряженных функторов позволяет описать морфизмы из произвольной схемы в аффинную при помощи гомоморфизмов колец . Например, поскольку ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ — начальный объект категории коммутативных колец, ${\displaystyle \mathrm {Spec} \;\mathbb {Z} }$ является терминальным объектом категории схем.

Категория схем имеет конечные произведения , однако при их использовании нужно быть осторожным, так как топологическое пространство, соответствующее схеме ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})\times (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$ не всегда изоморфно топологическому пространству ${\displaystyle X\times Y}$ , а часто имеет «больше» точек. Например, если K — поле из девяти элементов , то:

${\displaystyle \mathrm {Spec} \;K\times \mathrm {Spec} \;K\cong \mathrm {Spec} \;K\otimes _{\mathbb {Z} }K\cong \mathrm {Spec} \;K\times K}$ —

состоит из двух точек, тогда как Spec K состоит из одной точки (нулевого идеала).

Для фиксированной схемы S категория схем над S имеет также расслоённые произведения, а из того, что она имеет терминальный объект S следует, что в ней существуют все конечные пределы , то есть категория схем над данной схемой является конечно полной .

Второе определение схем

В алгебраической геометрии схемы обычно определяют приведённым выше способом. Однако в некоторых её приложениях (например, в теории линейных алгебраических групп ) более полезен другой подход, значительно более абстрактный и требующий хорошего знания теории категорий. На этом языке схема определяется не как геометрический объект, а как функтор из категории колец. Мы не будем здесь рассматривать этот подход подробно, за деталями обращайтесь к книге .

Аффинная схема ${\displaystyle \mathrm {Spec} \;A}$ — это представимый функтор ${\displaystyle \mathrm {Spec} \;A\colon \mathrm {CRing} \to \mathrm {Set} }$ :

${\displaystyle (\mathrm {Spec} \;A)(R)={\text{Hom}}(A,R)}$

Среди всех функторов выделяется особенно важный и удобный для изучения класс, называемый схемами. А именно, схема ${\displaystyle X}$ — это функтор ${\displaystyle X\colon \mathrm {CRing} \to \mathrm {Set} }$ , являющийся пучком множеств относительно топологии Гротендика , порождённой открытыми по Зарисскому эпиморфизмами колец, и покрывающийся открытыми по Зарисскому отображениями аффинных схем в категории функторов ${\displaystyle \left[{\mathcal {R}}ing;{\mathcal {S}}et\right]}$ . Схемы, не являющиеся аффинными, являются непредставимыми функторами на категории колец. Морфизм схем определяется как естественное преобразование соответствующих функторов. Согласно лемме Йонеды ,

${\displaystyle X(A)=\left[(A;\cdot );X\right]=\left[\mathrm {Spec} A;X\right]}$

Это утверждение устанавливает связь с приведённой выше геометрической теорией схем, так как основная теорема о морфизмах схем утверждает, что функтор

${\displaystyle Y\colon \mathrm {Schemes} \to \left[\mathrm {Aff} ^{op};\mathrm {Set} \right]}$

${\displaystyle Y(X)=\left(\cdot ;X\right)}$

является . При этом образ вложения — в точности те функторы на аффинных схемах, которые удовлетворяют указанным выше условиям.

Примеры

1. Аффинная прямая ${\displaystyle O}$ — забывающий функтор ${\displaystyle O\colon \mathrm {CRing} \to \mathrm {Set} }$ , сопоставляющий каждому кольцу его подлежащее множество. Структура кольца на нём задаёт структуру кольца на множестве ${\displaystyle [X;O]}$ для любой схемы ${\displaystyle X}$ , поэтому ${\displaystyle [X;O]}$ называется кольцом функций на ${\displaystyle X}$ . Аффинная прямая — это аффинная схема, она соответствует спектру кольца многочленов ${\displaystyle \mathbb {Z} [T]}$ .
2. Грассманиан ${\displaystyle G_{r,n}}$ ( ${\displaystyle n}$ — размерность грассманиана) — это функтор, сопоставляющий кольцу ${\displaystyle R}$ множество прямых слагаемых ${\displaystyle P}$ ранга ${\displaystyle r}$ в модуле ${\displaystyle R^{r+n}}$ . Стрелке ${\displaystyle \phi :R\to S}$ сопоставляется отображение ${\displaystyle P\mapsto P\otimes _{R}S}$ . В частности, ${\displaystyle \mathbb {P} _{n}=G_{1,n}}$ — n-мерное проективное пространство , ${\displaystyle \mathbb {P} _{1}}$ — проективная прямая .

Примечания

Литература

• Мамфорд Д. Красная книга о многообразиях и схемах = The Red Book of Varieties and Schemes. — М. : МЦНМО , 2007. — 296 с. — ISBN 978-5-94057-195-7 .
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия = Algebraic Geometry. — М. : Мир , 1981. — 597 с.
• Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — 2-е изд.. — М. : Наука , 1988. — Т. 2. Схемы. Комплексные многообразия. — 304 с. — 5900 экз. — ISBN 5-02-014412-4 .
• David Eisenbud; Joe Harris . The Geometry of Schemes. Springer-Verlag, 1998 — ISBN 0-387-98637-5 .

Ссылки

• Ravi Vakil , (версия 11.06.2013) — записки курса алгебраической геометрии, прочитанного в Стэнфордском университете .