Метод Галёркина ( метод Бубнова — Галёркина ) — метод приближённого решения краевой задачи для дифференциального уравнения ${\displaystyle L[u]=f(x)}$ . Здесь оператор ${\displaystyle L[\cdot ]}$ может содержать частные или полные производные искомой функции.

Основа метода

Первым шагом в реализации метода Галёркина является выбор набора базисных функций , которые:

• удовлетворяют граничным условиям .
• в пределе бесконечного количества элементов базиса образуют .

Конкретный вид базисных функций определяется из специфики задачи и удобства работы. Часто применяются тригонометрические функции , ортогональные полиномы (полиномы Лежандра , Чебышёва , Эрмита и др.).

Решение представляется в виде разложения по базису:

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}\phi _{k}(x).}$

, где ${\displaystyle \phi _{k}(x)}$ - выбранные базисные функции, ${\displaystyle \alpha _{k}}$ - неизвестные весовые коэффициенты.

Затем приближённое решение подставляется в исходное дифференциальное уравнение, и вычисляется его невязка . Для однородного уравнения ${\displaystyle L[u]=0}$ невязка будет иметь вид:

${\displaystyle L\left[\psi (x)\right]=N(x).}$

Для неоднородного уравнения ${\displaystyle L[u]=f(x)}$ невязка будет иметь вид ${\displaystyle N(x)=L[\psi (x)]-f(x)}$ .

Далее выдвигается требование ортогональности невязки к базисным функциям, то есть:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{N(x)\phi _{k}(x)dx}=0.}$

Отсюда получается однородная система уравнений для коэффициентов ${\displaystyle \alpha _{k}}$ в разложении, и удаётся приближённо найти собственные значения задачи.

Пример

Рассмотрим в качестве иллюстрации обыкновенное дифференциальное уравнение :

${\displaystyle \psi ''+\lambda \psi =0,}$

с граничными условиями:

${\displaystyle \psi (0)=\psi (1)=0.}$

Решение данного уравнения известно:

${\displaystyle \psi (x)=\sin \pi nx,\quad \lambda =\pi ^{2}n^{2},\qquad n=1,2..}$

Для первого нетривиального решения ${\displaystyle (n=1)}$ собственное число равно ${\displaystyle \lambda =\pi ^{2}\approx 9,869...}$ .

Теперь применим метод Галёркина. Выберем сперва одну базисную функцию:

${\displaystyle \phi _{0}(x)=x(1-x),\qquad \psi (x)=a_{0}\phi _{0}(x).}$

Подставляя в уравнение, получим невязку:

${\displaystyle N(x)=a(\phi ''+\lambda \phi ),}$

и требование ортогональности невязки перепишется в виде:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\phi ''\phi dx}+\lambda \int \limits _{0}^{1}{\phi ^{2}dx}=0.}$

Отсюда очевидно:

${\displaystyle \lambda =-{\int \limits _{0}^{1}{\phi ''\phi dx} \over \int \limits _{0}^{1}{\phi ^{2}dx}}={\int \limits _{0}^{1}{(\phi ')^{2}dx} \over \int \limits _{0}^{1}{\phi ^{2}dx}}.}$

В приводимом здесь примере получается ${\displaystyle \lambda =10}$ , что менее чем на 1,5 % отличается от точного решения. Задание большего числа базисных функций позволяет уточнить уже известное значение λ, а также получить первое приближение для следующего (соответствующего n=2).

Представим решение в виде линейной комбинации n функций:

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}\phi _{k}(x).}$

Тогда невязка:

${\displaystyle N=\sum _{k=1}^{n}N_{k}(x)}$ .

Система уравнений для коэффициентов разложения:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}\int \limits _{a}^{b}{\phi _{j}N_{k}dx}=0,\quad j=1..n.}$

В этом случае собственные значения находятся из условия разрешимости системы (равенство нулю её определителя ):

${\displaystyle \operatorname {det} \left(A_{jk}\right)=0,\quad A_{jk}=\int \limits _{a}^{b}{\phi _{j}N_{k}dx}}$

Важно помнить, что сходимость метода Галёркина не всегда быстро достигается. Успешное применение возможно только для т. н. самосопряжённых задач, то есть инвариантных к эрмитовому сопряжению .

Разновидности

Метод Галёркина имеет несколько усовершенствованных вариантов:

• Метод Галёркина — Петрова — разложение решения производится по одному базису, а ортогональность невязки требуется к другому.
• — позволяет свести уравнения в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Например, в двумерной задаче решение представляется в виде: ${\displaystyle \psi (x,y)=\sum _{n}b_{n}X_{n}(x)Y_{n}(y),}$ и процедура Галёркина проводится применительно лишь к одним функциям (здесь ${\displaystyle X_{n}(x)}$ либо ${\displaystyle Y_{n}(y)}$ ). В итоге получается система ОДУ, для решения которых существуют эффективные численные методы. Данный приём подобен известному в квантовой механике методу Хартри — Фока .

Применение

Методы Галёркина давно применяются как для решения дифференциальных уравнений с частными производными , так и для формирования основы метода конечных элементов .

Применение метода к исследованию задач устойчивости гидродинамических течений было реализовано Г. И. Петровым , который доказал сходимость метода Галёркина для отыскания собственных значений широкого класса уравнений, включая уравнения для неконсервативных систем, такие, как например уравнения колебаний в вязкой жидкости.

В гидродинамике наиболее эффективно метод Галёркина работает в задачах о конвекции , в силу их самосопряжённости. Задачи о течениях таковыми не являются, и сходимость метода при неудачном выборе базиса может быть сильно затруднена.

Происхождение названия

Метод приобрёл популярность после исследований Бориса Галёркина ( 1915 ). Его также применял Иван Бубнов ( 1913 ) для решения задач теории упругости . Поэтому иногда этот метод называют методом Бубнова — Галёркина . Теоретически метод был обоснован советским математиком Мстиславом Келдышем в 1942 .

См. также

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .

Литература

• Ворович И. И. О методе Бубнова — Галёркина в нелинейной теории колебания пологих оболочек. — Доклады АН СССР, 1956. — Т. 110. — № 5. — С. 723—726.
• А. Д. Ляшко . О сходимости методов типа Галеркина // Доклады АН СССР. 1958. Т. 120, № 2;
• Галёркин Б. Г. Стержни и пластинки. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластинок. // Вестник инженеров. — 1915. — Т. 1. — С. 897—908.
• Канторович Л. В. , Крылов В. И. Приближённые методы высшего анализа. — 5-е изд. — Л.-М., 1962.
• Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. — 2-е изд. — М.-Л. — 1970.
• Флетчер К. Численные методы на основе метода Галёркина. — М.-Мир — 1988.
• Itô, K. (Ed.). «Methods Other than Difference Methods.» § 303I in Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd ed., Vol. 2. Cambridge, MA: MIT Press, p. 1139, 1980.
• Ritz W. , Neue Methode zur Lösung gewisser Randwertaufgaben, «Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Math.-physik. Klasse. Nachrichten», Göttingen, 1908.
• Ritz W., Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik, «Journal für die reine und angewandte Mathematik», 1909, Bd 135.
• Гуляев В. И. , Баженов В. А. , Попов С. Л. ,. Прикладные задачи теории нелинейных колебаний механических систем. — М. : Высшая школа, 1989. — 383 с. — ISBN 5-06-000091-5 .