Постоя́нные Ламе́ , упругие постоянные Ламе , , коэффициенты Ламе , константы Ламе , модули упругости Ламе (названные в честь французского математика Габриэля Ламе ) — , характеристики упругих деформаций изотропных твёрдых тел , принадлежащие к множеству модулей упругости .

В линейной теории упругости закон Гука выражает линейную зависимость между тензором деформации ε и тензором напряжений σ в упругой среде:

${\displaystyle \sigma =\lambda \;\mathrm {Tr} (\varepsilon )I+2\mu \varepsilon .}$

Здесь λ называется первым коэффициентом Ламе , а μ — вторым коэффициентом Ламе или модулем сдвига .

Определение через энергию

Энергия упругой деформации является квадратичной формой тензора деформации . Из тензора второго ранга можно составить две разные симметричные скалярные комбинации второй степени. Такими скалярами являются ${\displaystyle \left(\sum _{i}\varepsilon _{ii}\right)^{2}}$ и ${\displaystyle \sum _{i,k}\varepsilon _{ik}^{2}}$ .

Вклад упругих деформаций в свободную энергию , таким образом, является линейной комбинацией этих двух скаляров с коэффициентами, которые называются параметрами Ламе.

${\displaystyle F={\frac {\lambda }{2}}\left(\sum _{i}\varepsilon _{ii}\right)^{2}+\mu \sum _{i,k}\varepsilon _{ik}^{2}}$ .

Связь с другими модулями упругости

Параметр Ламе μ совпадает с модулем сдвига .

Модуль всестороннего сжатия К выражается через параметры Ламе следующим образом:

${\displaystyle K=\lambda +{\frac {2}{3}}\mu }$

Через модуль Юнга E и коэффициент Пуассона ν параметры Ламе выражаются следующим образом:

${\displaystyle \lambda ={\frac {\nu E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}}$

${\displaystyle \mu ={\frac {E}{2(1+\nu )}}}$

Литература

• Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т.VII. Теория упругости. — Наука, 1987.

Примечания

1. Кац А.М. . — СПб. : Лань, 2002. — С. . — 208 с. — ISBN 5-8114-0453-0 .
2. Новацкий В. Теория упругости / Пер с польск. Б.Е.Победри. — М. : Мир, 1975. — С. 102. — 872 с.
3. Работнов Ю.Н. . — М. : Наука, 1988. — С. . — 712 с. — ISBN 5-02-013812-6 .
4. Амензаде Ю.А. . — М. : Высшая школа, 1976. — С. . — 272 с.
5. Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред (в приложении к теории волн) / Отв. ред. Г.И.Баренблатт. — М. : Наука, 1982. — С. 48. — 336 с.
6. Седов Л.И. Механика сплошной среды. — СПб. : Лань, 2004. — Т. 1. — С. 166. — 528 с. — ISBN 5-8114-0541-3 .
7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости / Теоретическая физика. В 10-ти т. — М. : Наука, 1987. — Т. 7. — С. 21. — 258 с.
8. Лурье А.И. . — М. : Наука, 1970. — С. . — 940 с.
9. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. — М. : Изд-во Моск. ун-та, 1978. — С. 194. — 288 с.
10. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости / Пер. с англ. под ред. Г.С.Шапиро. — М. : Наука, 1975. — С. 20. — 576 с.
11. Зоммерфельд А. / Пер. с нем. Е.М.Лифшица. — М. : ИЛ, 1954. — С. . — 488 с.