Непрерывность по Скотту — свойство функций над частично упорядоченными множествами , выражающееся в сохранении точной верхней грани относительно отношения частичного порядка .

Топология Скотта — структура над или, в более общем случае, над полным частично упорядоченным множеством , в которой открытыми считаются верхние множества , недоступные для прямых соединений, или эквивалентно, топология, в рамках которой функции над частично упорядоченными множествами , сохраняющие точную верхнюю грань, являются непрерывными .

Понятия были разработаны в 1970-е годы Даной Скоттом , благодаря им построены первая непротиворечивая модель бестипового λ-исчисления и . В частности, функции аппликации и каррирования являются непрерывными по Скотту .

Определения

Если ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ — частично упорядоченные множества, то функция ${\displaystyle f\colon P\to Q}$ между ними является непрерывной по Скотту если для любого направленного подмножества ${\displaystyle D\subseteq P}$ существует точная верхняя грань его образа ${\displaystyle \sup f(D)}$ , притом выполнено следующее условие: ${\displaystyle \sup f(D)=f(\sup D)}$ .

Топология Скотта на полном частично упорядоченном множестве ${\displaystyle \langle D,\sqsubseteq \rangle }$ вводится определением открытого множества ${\displaystyle O}$ как обладающего следующими свойствами:

1. из того, что ${\displaystyle x\in O}$ и ${\displaystyle x\sqsubseteq y}$ следует ${\displaystyle y\in O}$ ;
2. если ${\displaystyle \bigsqcup X\in O}$ , где ${\displaystyle X\subseteq D}$ и ${\displaystyle X}$ направленно , то ${\displaystyle X\cap O\neq \varnothing }$ .

Топология Скотта была впервые введена для , впоследствии была обобщена до полных частично упорядоченных множеств .

Категория , объектами которой являются полные частично упорядоченные множества, а морфизмами — непрерывные по Скотту отображения, обозначается ${\displaystyle {\mathsf {CPO}}}$ .

Свойства

Функции, непрерывные по Скотту, всегда монотонны относительно отношения частичного порядка .

Подмножество частично упорядоченного множество замкнуто в топологии Скотта тогда и только тогда, когда оно является нижним множеством и включает точные верхние грани всех своих подмножеств .

Полное частично упорядоченное множество, наделённое топологией Скотта, всегда является T ₀ -пространством , а хаусдорфовым — тогда и только тогда, когда отношение порядка тривиально .

Для любой непрерывной по Скотту функции, отображающей полное частично упорядоченное множество на себя, выполнена теорема Клини , согласно которой каждое такое отображение обладает единственной наименьшей неподвижной точкой . Кроме того, отображение ${\displaystyle \mathbf {Fix} }$ , определённое на множестве непрерывных по Скотту функций ${\displaystyle f\colon D\to D}$ и возвращающее для каждой функции значение её неподвижной точки ( ${\displaystyle \mathbf {Fix} (f)=x\Leftrightarrow f(x)=x}$ ), само является непрерывным по Скотту .

Категория ${\displaystyle {\mathsf {CPO}}}$ является декартово замкнутой .

Аналоги

Близкой по свойствам к топологии Скотта конструкцией является категория ${\displaystyle f_{0}}$ -пространств, разработанная Юрием Ершовым в 1975 году — с её помощью также может быть построена непротиворечивая модель λ-исчисления. В качестве её преимущества отмечается , что категория ${\displaystyle f_{0}}$ -пространств является декартово замкнутой, каждый объект в ней является топологическим пространством, топология на произведении является произведением топологий сомножителей, а топология в пространстве функций оказывается топологией поточечной сходимости . Такими удобными свойствами топология Скотта не обладает, в частности, произведение топологий Скотта на полных частично упорядоченных множеств в общем случае топологией Скотта на произведении множеств не является.

Примечания

Литература

• Abramsky, Samson and Jung, Achim. // Semantic Structures. — Handbook of Logic in Computer Science. — Oxford : Oxford University Press , 1995. — Т. 3. — 512 с. — ISBN 978-0198537625 .
• Барендрегт, Хенк . Ламбда-исчисление. Его синтаксис и семантика = The Lambda Calculus. Its syntax and semantics (рус.) . — М. : Мир , 1985. — 606 с. — 4800 экз.
• Scott, Dana . (англ.) // . — 1972. — Vol. 274 . — P. 97–136 . — doi : .
• Vickers, Steven. Topology via Logic. — Cambridge : Cambridge University Press , 1989. — 206 с. — ISBN 0-521-36062-5 .