Символы Шёнфлиса — одно из обозначений точечных групп симметрии , наряду с символами Германа — Могена . Предложены немецким математиком Артуром Шёнфлисом в книге «Kristallsysteme und Kristallstruktur» в 1891. Могут также использоваться для обозначения пространственных групп (трёхмерной кристаллографической группы ).

Обозначение точечных групп

При точечной симметрии хотя бы одна точка сохраняет своё положение. Точечные группы симметрии в трёхмерном пространстве можно разделить на несколько семейств. В символах Шёнфлиса они описываются следующим образом:

• С _n , циклические группы — группы с единственным особым направлением, представленным поворотной осью симметрии , — обозначаются буквой С , с нижним цифровым индексом n , соответствующим порядку этой оси.

• C _nv (от нем. vertical — вертикальный) — группы с n вертикальными плоскостями симметрии, расположенными вдоль оси симметрии, которая всегда мыслится вертикальной.
• C _nh (от нем. horisontal — горизонтальный) — группы c горизонтальной плоскостью симметрии , перпендикулярной к оси симметрии.

• S _2n (от нем. spiegel — зеркало) — группы с единственной зеркальной осью симметрии. Индекс оси всегда чётный, так как при нечётном индексе зеркальная ось является просто комбинацией оси симметрии и перпендикулярной к ней плоскости, то есть S _n = C _nh для нечётного n .

• C _s — для плоскости неопределённой ориентации, то есть не фиксированной ввиду отсутствия в группе иных элементов симметрии.

• С _ni — группы с единственной инверсионной осью симметрии сопровождаются нижним индексом i . Как правило, используется только С _i (для n = 1), но иногда в литературе встречаются обозначения типа С _3i , С _5i .
• D _n — является группой С _n с дополнительными n осями симметрии второго порядка, перпендикулярными исходной (главной) оси.

• D _nh — также имеет горизонтальную и n вертикальных плоскостей симметрии.
• D _nd (от нем. diagonal — диагональный) — также имеет n вертикальных плоскостей симметрии, идущих по диагонали между горизонтальными осями второго порядка.

Группа D ₂ иногда раньше обозначалась как V (от нем. Vierergruppe — четверная группа ), а группы D _2h и D _2d как V _h и V _d , соответственно.

• T, O, I — группы симметрии с несколькими осями высшего порядка (порядок оси n больше или равен 3). Добавление индекса h указывает на наличие горизонтальной плоскости и, как следствие, вертикальных плоскостей симметрии и центра инверсии. Добавление индекса d к группе T указывает на наличие диагональных плоскостей симметрии. Отличие группы T _d от T _h в том, что первая не содержит центра инверсии, а вторая содержит, зато T _d содержит три инверсионных оси четвёртого порядка, в то время как в T _h таких осей нет.

• T , T _h , T _d - совокупность поворотных осей в тетраэдре (только поворотные оси 2-го и 3-го порядков).
• O , O _h - совокупность поворотных осей в октаэдре или кубе (поворотные оси 2-го, 3-го и 4-го порядков).
• I , I _h - совокупность поворотных осей в икосаэдре или додекаэдре (поворотные оси 2-го, 3-го и 5-го порядков).

Иногда икосаэдрические группы I и I _h обозначаются как Y и Y _h .

Группы, в которых не более одной оси высшего порядка, можно расположить в следующей таблице

n	1	2	3	4	5	6	7	8	...	${\displaystyle \infty }$
C n	C 1	C 2	C 3	C 4	C 5	C 6	C 7	C 8	…	C ∞
C nv	C 1v = C s	C 2v	C 3v	C 4v	C 5v	C 6v	C 7v	C 8v	…	C ∞v
C nh	C 1h = C s	C 2h	C 3h	C 4h	C 5h	C 6h	C 7h	C 8h	…	C ∞h
S n	S 1 = C s	S 2 = C i	S 3 = C 3h	S 4	S 5 = C 5h	S 6	S 7 = C 7h	S 8	…	S ∞ = C ∞h
C ni	C 1i = C i	C 2i = C s	C 3i = S 6	C 4i = S 4	C 5i = S 10	C 6i = C 3h	C 7i = S 14	C 8i = S 8	…	C ∞i = C ∞h
D n	D 1 = C 2	D 2 = V	D 3	D 4	D 5	D 6	D 7	D 8	…	D ∞
D nh	D 1h = C 2v	D 2h = V h	D 3h	D 4h	D 5h	D 6h	D 7h	D 8h	...	D ∞h
D nd	D 1d = C 2h	D 2d = V d	D 3d	D 4d	D 5d	D 6d	D 7d	D 8d	…	D ∞d = D ∞h

Бордовым цветом отмечены не употребляемые варианты обозначений групп.

В кристаллографии из-за наличия трансляционной симметрии кристаллической структуры n может принимать только значения 1, 2, 3, 4 и 6. Некристаллографические точечные группы даны на сером фоне. D _4d и D _6d также являются некристаллографическими, так как содержат зеркальные оси порядка 8 и 12, соответственно. 27 кристаллографических точечных групп из таблицы и пять групп T , T _d , T _h , O и O _h составляют все 32 кристаллографические точечные группы симметрии .

Группы с ${\displaystyle n=\infty }$ называются или группами Кюри . К ним относятся ещё две группы, не представленные в таблице. Это группа всех возможных вращений вокруг всех осей проходящих через точку, K (от нем. Kugel — шар) — группа вращений, а также группа K _h , которая описывает симметрию шара — максимально возможную точечную симметрию в трёхмерном пространстве; все точечные группы являются подгруппами группы K _h . Иногда эти группы обозначаются также R(3) (от англ. rotation — вращение) и R _h (3) . В математике и теоретической физике их обычно обозначают как SO(3) и O(3) ( специальная ортогональная группа в трёхмерном пространстве и ортогональная группа в трёхмерном пространстве).

Обозначение пространственных групп

Если в пространственной группе убрать трансляционные компоненты (то есть убрать трансляции и заменить винтовые оси на обычные оси, а плоскости скользящего отражения на зеркальные плоскости), то получится соответствующая пространственной группе точечная группа — одна из 32-х кристаллографических точечных групп . Символ Шёнфлиса пространственной группы образуется из символа соответствующей точечной группы с дополнительным верхним цифровым индексом, так как обычно одной точечной группе соответствует сразу несколько пространственных групп (максимум — 28 пространственных групп для группы D _2h ). При этом индекс не даёт никакой дополнительной информации об элементах симметрии группы, а просто связан с тем, в какой последовательности Шёнфлис выводил 230 пространственных групп . Таким образом, символ Шёнфлиса для пространственной группы не только ничего не говорит об ориентации элементов симметрии по отношению к осям ячейки, но даже не даёт информации о центрировке ячейки и трансляционной составляющей осей и плоскостей симметрии. Чтобы получить полную информацию о пространственной группе из символа Шёнфлиса, надо пользоваться таблицей, в которой сопоставлены эти символы символам Германа-Могена . Например, такая таблица дана в или .

См. также

• Точечная группа симметрии
• Кристаллографическая точечная группа симметрии

Внешние ссылки

Литература

• Ю. Г. Загальская, Г. П. Литвинская, Геометрическая кристаллография, МГУ, 1973
• Ю. К. Егоров-Тисменко, Г. П. Литвинская, Ю. Г. Загальская, Кристаллография, МГУ, 1992
• Ю. К. Егоров-Тисменко, Г. П. Литвинская, Теория симметрии кристаллов, ГЕОС, 2000 (доступно on-line )
• П. М. Зоркий. Симметрия молекул и кристаллических структур, МГУ, 1986 (доступно on-line )
• Р. Фларри, Группы симметрии. Теория и химические приложения, М.: Мир, 1983
• И. Харгитаи, Симметрия глазами химика. - М.: Мир, 1991 (страница 99)

Примечания

1. (неопр.) . Дата обращения: 3 октября 2017. 24 июля 2017 года.
2. (неопр.) . Дата обращения: 18 ноября 2011. 23 февраля 2008 года.

.