Модель Форухи — Блумер — дисперсионные уравнения для среды с поглощением выведенные А. Р. Форухи и И. Блумер для комплексного показателя преломления n +i k , которые были опубликованы в 1986 и 1988 годах . Публикация 1986 г. относится к аморфным материалам, а публикация 1988 г. — к кристаллическим. Впоследствии, в 1991 году, их работа была включена в качестве главы в «Справочник оптических констант». Дисперсионные уравнения Форухи — Блумер описывают, как фотоны различной энергии взаимодействуют с тонкими плёнками. При использовании в спектроскопической дисперсионные уравнения Форухи — Блумер позволяют определять n (коэффициент преломления) и k (коэффициент поглощения) для аморфных и кристаллических материалов как функции энергии фотона E. Значения n(E) и k(E) называются спектрами n и k , которые также могут выражаться в зависимости от длины волны света λ, поскольку E = hc/λ , где h - постоянная Планка, а c — скорость света в вакууме. Вместе n и k часто называют «оптическими константами» материала (хотя они не являются константами, поскольку их значения зависят от энергии фотонов).

Уравнения

Вывод дисперсионных уравнений Форухи — Блумер основан на получении выражения для k как функции энергии фотона, символически записанного как k ( E ), исходя из первых принципов квантовой механики и физики твёрдого тела. Выражение для n как функции энергии фотона, символически записанное как n ( E ), затем определяется из выражения для k (E) в соответствии с соотношениями Крамерса — Кронига , которых гласят, что n (E) — это преобразование Гильберта k (E).

Аморфные материалы

Дисперсионные уравнения Форухи — Блумер для n ( E ) и k (E) для аморфных материалов имеют вид:

${\displaystyle k(E)={\frac {A(E-E_{g})^{2}}{E^{2}-BE+C}}\,,}$

${\displaystyle n(E)=n(\infty )+{\frac {(B_{0}E+C_{0})}{E^{2}-BE+C}}\,.}$

Каждый из пяти параметров A, B, C, E _g и n (∞) имеет физическое значение . E _g — ширина запрещённой зоны материала в оптическом диапазоне. A, B и C зависят от зонной структуры материала. Это положительные константы, такие что 4C-B ² >0. Наконец, n(∞) — константа больше единицы, представляет собой значение n при E = ∞. Параметры B ₀ и C ₀ в уравнении для n (E) не являются независимыми параметрами, но зависят от основных параметров модели A, B, C и E _g . Они задаются формулами:

${\displaystyle B_{0}={\frac {A}{Q}}\ \left({\frac {-B^{2}}{2}}\ +E_{g}B-{E_{g}}^{2}+C\right)\,,}$

${\displaystyle C_{0}={\frac {A}{Q}}\ \left[({E_{g}}^{2}+C){\frac {B}{2}}\ -2E_{g}C\right]\,,}$

где

${\displaystyle Q={\frac {1}{2}}\ (4C-B^{2})^{\frac {1}{2}}\,.}$

Таким образом, для аморфных материалов нужно задать пять параметров, чтобы полностью описать зависимость как n, так и k от энергии фотона E .

Кристаллические материалы

Для кристаллических материалов, которые имеют несколько пиков в спектрах n и k , дисперсионные уравнения Форухи — Блумер обобщаются следующим образом:

${\displaystyle k(E)=\sum _{i=1}^{q}\left[{\frac {A_{i}(E-E_{g_{i}})^{2}}{E^{2}-B_{i}E+C_{i}}}\right]\,,}$

${\displaystyle n(E)=n(\infty )+\sum _{i=1}^{q}\left[{\frac {B_{0_{i}}E+C_{0_{i}}}{E^{2}-B_{i}E+C_{i}}}\right]\,.}$

Количество членов в каждой сумме q равно количеству пиков в n- и k- спектрах материала. Каждый член в сумме имеет свои собственные значения параметров A _i , B _i , C _i , E _{g i} , а также свои собственные значения B _{0 i} и C _{0 i} . Подобно аморфному случаю, все параметры имеют физическое значение .

Характеризация тонких плёнок

Показатель преломления ( n ) и коэффициент поглощения ( k ) связаны с взаимодействием между материалом и падающим светом и относятся к преломлению и поглощению света в материале, соответственно. Их можно рассматривать как «отпечатки пальцев» для материала. Покрытия из тонкоплёночного материала на различных подложках обеспечивают важные применения для , и n , k , а также толщина t этих тонкоплёночных составляющих должны измеряться и контролироваться для обеспечения воспроизводимости технологических процессов .

Изначально ожидалось, что дисперсионные уравнения Форухи — Блумер для n и k будут применяться к полупроводникам и диэлектрикам, будь то в аморфном, поликристаллическом или кристаллическом состояниях. Однако было показано, что они также описывают n- и k- спектры прозрачных проводников , а также металлических соединений . Было обнаружено, что этот формализм для кристаллических материалов применим также к полимерам , которые состоят из длинных цепочек молекул, не образующих кристаллографическую структуру в классическом смысле.

В литературе можно найти другие модели дисперсии, которые можно использовать для получения n и k , такие как Тауц — Лоренца . Две хорошо известные модели: Коши и Зелмейера предоставляют эмпирические выражения для n, действительные в ограниченном диапазоне частот, и полезны только для плёнок со слабым поглозщением, где k = 0. Следовательно, модель Форухи — Блумер используется для измерения тонких плёнок в различных приложениях .

В следующих обсуждениях все переменные энергии фотонов E будут описаны в терминах длины волны света λ, поскольку экспериментальные переменные, связанные с тонкими плёнками, обычно измеряются по спектру длин волн. Спектры n и k тонкой плёнки нельзя измерить напрямую, их следует определять косвенно, исходя из измеряемых величин, которые зависят от них. Спектроскопическая отражательная способность, R(λ ), является одной из таких измеряемых величин. Другая величина — спектроскопический коэффициент пропускания T (λ) , применяется, когда подложка на которой расположена плёнка прозрачна. Спектроскопический коэффициент отражения тонкой плёнки на подложке представляет собой отношение интенсивности света, отражённого от образца, к интенсивности падающего света, измеренного в каком-то диапазоне длин волн, тогда как спектроскопический коэффициент пропускания, T (λ) , представляет собой отношение интенсивности света, прошедшего через образец, к интенсивности падающего света, измеренного в каком-то диапазоне длин волн; как правило, будет наблюдаться также отражённый сигнал R(λ) , сопровождающий T(λ) .

Измеримые величины R(λ) и T(λ) зависят не только от n(λ) и k(λ) плёнки, но также от толщины плёнки t , а также от n(λ) и k(λ) подложки . Для кремниевой подложки значения n(λ) и k(λ) известны и принимаются в качестве заданных входных данных. Задача определения характеристик тонких плёнок включает извлечение t , n(λ) и k(λ) плёнки из измерения R(λ) и/или T(λ) . Этого можно достичь, комбинируя дисперсионные уравнения Форухи — Блумер для n(λ) и k(λ) с уравнениями Френеля для отражения и пропускания света на границе раздела , чтобы получить теоретические, физически обоснованные выражения для коэффициента отражения и коэффициент пропускания. При этом задача сводится к получению пяти параметров A, B, C, E _g и n(∞) , которые содержат n(λ) и k(λ), наряду с толщиной плёнки, t, за счёт использования нелинейного регрессионного анализ методом наименьших квадратов . Процедура подгонки влечёт за собой итеративное улучшение значений A, B, C, E _g , n(∞) , t , чтобы уменьшить сумму квадратов ошибок между модельными R(λ) и T(λ) и измеренными спектрами R(λ) и T(λ) .

Помимо спектрального коэффициента отражения и пропускания, спектроскопическая эллипсометрия также может использоваться аналогичным образом для характеризации тонких плеёнок и определения t , n(λ) и k(λ) .

Примеры измерений

Следующие ниже примеры показывают универсальность использования дисперсионных уравнений Форухи — Блумер для характеристики тонких плёнок с использованием инструмента, основанного на спектроскопической отражательной способности, близкой к нормальному падению. Спектроскопическое пропускание, близкое к нормальному, также используется, когда подложка прозрачна. Спектры n(λ) и k(λ) каждой плёнки получают вместе с толщиной плёнки в широком диапазоне длин волн от глубокого ультрафиолетового до ближнего инфракрасного (190—1000 нм).

В следующих примерах обозначения теоретической и измеренной отражательной способностей на спектральных графиках выражаются как «R-theor» и «R-Meas», соответственно.

Ниже приведены схемы, изображающие процесс измерения тонких плёнок:

Уравнения дисперсии Форухи — Блумер в сочетании со также использовались для получения подробной информации о профиле (глубина, CD, угол боковой стенки) траншейных поверхностных структур. Для извлечения структурной информации данные поляризованного широкополосного отражения, Rs и Rp , должны быть измерены в большом диапазоне длин волн из периодической структуры (решётки), а затем проанализированы с помощью модели, которая включает дисперсионные уравнения Форухи — Блумер и RCWA. Входные данные для модель включают шаг решётки и n- и k- спектры всех материалов в структуре, в то время как выходные данные могут включать глубину, CD в нескольких местах и даже угол боковой стенки. Спектры n и k таких материалов могут быть получены в соответствии с методологией, описанной в этом разделе для измерений тонких плёнок.

Ниже приведены схемы, изображающие процесс измерения траншейных поверхностных структур. Далее следуют примеры измерения траншеи.

Рис. 1: Спектры отражения, в диапазоне длин волн 190–1000 нм для плёнки аморфного кремния (a-Si) на окисленной кремниевой подложке (SiO ₂ /Si-Sub), спектры n(λ)» и k(λ) плёнки a-Si. Толщина плёнки составила 1147 нм. Толщина плёнок a-Si и SiO ₂ , а также спектры n(λ) и k(λ) были определены одновременно. Спектры n(λ) и k(λ) плёнки SiO ₂ оставались фиксированными.

Рис. 2: Аморфные материалы обычно демонстрируют один широкий максимум в их спектрах n(λ) и k(λ). Когда материал переходит из аморфного состояния в полностью кристаллическое состояние, широкий максимум становится более резким, и в спектрах n(λ) и k(λ) начинают появляться другие острые пики. Это продемонстрировано на примере превращения аморфного кремния в поликремний и дальнейшего развития в кристаллический кремний.

В рисунке 1 показан один широкий максимум в спектрах n(λ) и k(λ) плёнки a-Si, как и ожидалось для аморфных материалов. По мере перехода материала к кристалличности широкий максимум сменяется несколькими более резкими пиками в его спектрах n(λ) и k(λ) , как показано на графиках.

Когда измерение включает две или более плёнки в стопке плёнок, теоретическое выражение для коэффициента отражения должно быть расширено, чтобы включить спектры n(λ) и k(λ) плюс толщину t каждой плёнки. Однако регрессия может не сходиться к уникальным значениям параметров из-за нелинейного характера выражения для отражательной способности. Так что полезно исключить некоторые из неизвестных. Например, спектры n(λ) и k(λ) одной или нескольких плёнок могут быть известны из литературы или предыдущих измерений и удерживаться фиксированными (не могут изменяться) во время регрессии. Для получения результатов, показанных на рисунке 1, спектры n(λ) и k(λ) слоя SiO ₂ были фиксированы, а другие параметры, n(λ) и k(λ) a-Si, плюс толщина как a-Si, так и SiO ₂ можно было изменять.

Примечания