Лиувиллево число — иррациональное число ${\displaystyle x}$ , которое может быть приближено рациональными числами так, что для любого целого ${\displaystyle n}$ существует бесконечно много пар целых ${\displaystyle (p,q)}$ ( ${\displaystyle q>1}$ ) таких, что:

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}}$ .

Диофантово число — иррациональное число, которое таким образом представлено быть не может, то есть при приближении рациональным числом ошибка составляет не менее некоторой степени знаменателя:

${\displaystyle \exists C,\alpha >0\colon \quad \forall p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {N} \quad \left|x-{\frac {p}{q}}\right|\geqslant {\frac {C}{q^{\alpha }}}}$ .

По теореме Лиувилля о приближении алгебраических чисел , всякое алгебраическое иррациональное число является диофантовым. В частности, тем самым, любое лиувиллево число трансцендентно , что позволяет явно строить трансцендентные числа как суммы сверхбыстро сходящихся рядов рациональных чисел.

Диофантовы числа метрически типичны: их множество имеет полную меру Лебега . Лиувиллевы числа, напротив, типичны с топологической точки зрения: их множество остаточно .

Мера иррациональности чисел Лиувилля: ${\displaystyle \mu (x)=+\infty }$ , кроме того, если мера иррациональности числа бесконечна, то оно лиувиллево (иногда это свойство принимается за определение чисел Лиувилля).

Классический пример лиувиллева числа — постоянная Лиувилля , определяемая как:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0{,}1100010000000000000000010000\ldots }$

Примечания