Расшире́ние по́ля (реже употребляется термин надполе ) ${\displaystyle K}$ — поле ${\displaystyle E}$ , содержащее данное поле ${\displaystyle K}$ в качестве подполя. Исследование расширений является важной задачей теории полей , так как любой гомоморфизм полей является расширением.

Базовые определения

Если ${\displaystyle E}$ — поле , его подполе — это его подмножество ${\displaystyle K}$ , замкнутое относительно сложения и умножения , взятия обратного и противоположного элементов и содержащее единицу, на котором введены те же операции, что и в поле ${\displaystyle E}$ . В этом случае ${\displaystyle E}$ называется расширением поля ${\displaystyle K}$ , заданное расширение обычно обозначают ${\displaystyle E\supset K}$ (также используются обозначения ${\displaystyle E/K}$ и ${\displaystyle K\subset E}$ ). Любой гомоморфизм полей инъективен , то есть является вложением . Из этого следует, что задание конкретного расширения ${\displaystyle E\supset K}$ эквивалентно заданию гомоморфизма ${\displaystyle f:K\to E}$ .

Если задано расширение ${\displaystyle E\supset K}$ и подмножество ${\displaystyle S}$ поля ${\displaystyle E}$ , то наименьшее подполе ${\displaystyle E}$ , содержащее ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle S}$ , обозначается ${\displaystyle K(S)}$ и называется полем, порождённым множеством ${\displaystyle S}$ над полем ${\displaystyle K}$ . Расширения, порождённые одним элементом, называются простыми расширениями , а расширения, порождённые конечным множеством — конечно порождёнными расширениями . Элемент, порождающий простое расширение, называется примитивным элементом .

Для любого расширения ${\displaystyle E\supset K}$ поле ${\displaystyle E}$ является векторным пространством над полем ${\displaystyle K}$ . В этой ситуации элементы ${\displaystyle E}$ можно понимать как «векторы», а элементы ${\displaystyle K}$ — как «скаляры», умножение вектора на скаляр задаётся операцией умножения в поле ${\displaystyle E}$ . Размерность этого векторного пространства называется степенью расширения и обозначается ${\displaystyle [E:K]}$ . Расширение степени 1 называется тривиальным , расширения степени 2 и 3 — квадратичными и кубическими соответственно. Расширение конечной степени называют конечным , в противном случае — бесконечным.

Примеры

Поле комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ является расширением поля действительных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Это расширение конечно: ${\displaystyle [\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2}$ , так как ${\displaystyle (1,i)}$ является базисом. В свою очередь, поле действительных чисел является расширением поля рациональных чисел; степень этого расширения равна мощности континуума , поэтому это расширение бесконечно.

Множество ${\displaystyle \{a+b{\sqrt {2}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \}}$ является расширением поля ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ , которое, очевидно, является простым. Конечные расширения ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ называются алгебраическими числовыми полями и являются важным объектом изучения алгебраической теории чисел .

Обычная процедура построения расширения данного поля, позволяющая добавить в него корень многочлена ${\displaystyle f(x)}$ — это взятие факторкольца кольца многочленов по главному идеалу , порожденному ${\displaystyle f(x)}$ . Например, пусть поле ${\displaystyle K}$ не содержит корня уравнения ${\displaystyle x^{2}=-1}$ . Следовательно, многочлен ${\displaystyle x^{2}+1}$ является неприводимым в ${\displaystyle K}$ , следовательно, идеал ${\displaystyle (x^{2}+1)}$ — максимальный , а значит факторкольцо ${\displaystyle K[x]/(x^{2}+1)}$ является полем. Это поле содержит корень уравнения ${\displaystyle x^{2}+1=0}$ — образ многочлена ${\displaystyle x}$ при отображении факторизации. Повторив подобную процедуру несколько раз, можно получить поле разложения данного многочлена, то есть поле, в котором данный многочлен раскладывается на линейные множители.

Алгебраичность и трансцендентность

Пусть ${\displaystyle E}$ — расширение поля ${\displaystyle K}$ . Элемент ${\displaystyle E}$ называется алгебраическим над ${\displaystyle K}$ , если он является корнем ненулевого многочлена с коэффициентами в ${\displaystyle K}$ . Элементы, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными . Например, для расширения ${\displaystyle \mathbb {C} \supset \mathbb {R} }$ мнимая единица является алгебраическим числом, так как удовлетворяет уравнению ${\displaystyle x^{2}+1=0}$ .

Особенно важен частный случай расширений ${\displaystyle \mathbb {C} \supset \mathbb {Q} }$ : термины алгебраическое число и трансцендентное число (без указания основного поля) употребляют именно для случая данного расширения.

Если каждый элемент расширения ${\displaystyle E\supset K}$ является алгебраическим над ${\displaystyle K}$ , ${\displaystyle E\supset K}$ называется алгебраическим расширением . Неалгебраические расширения называются трансцендентными.

Подмножество ${\displaystyle S}$ поля ${\displaystyle E}$ называется алгебраически независимым над ${\displaystyle K}$ , если не существует ненулевого многочлена (от конечного числа переменных) с коэффициентами в ${\displaystyle K}$ , такого, что при подстановке в него конечного подмножества чисел из ${\displaystyle S}$ получится ноль. Наибольшая мощность алгебраически независимого множества называется степенью трансцендентности данного расширения. Для любого расширения можно найти алгебраически независимое множество ${\displaystyle S}$ , такое что ${\displaystyle E\supset K(S)}$ является алгебраическим расширением. Множество ${\displaystyle S}$ , удовлетворяющее этому условию, называется базисом трансцендентности данного расширения. Все базисы трансцендентности имеют одинаковую мощность, равную степени транцендентности расширения.

Простое расширение является конечным , если порождается алгебраическим элементом. В противном случае единственные элементы ${\displaystyle E\supset K}$ , являющиеся алгебраическими над ${\displaystyle K}$ — это сами элементы ${\displaystyle K}$ .

Расширения Галуа

Алгебраическое расширение ${\displaystyle E\supset K}$ называется нормальным , если каждый неприводимый многочлен ${\displaystyle f(x)}$ над ${\displaystyle K}$ , имеющий хотя бы один корень в ${\displaystyle E}$ , разлагается в ${\displaystyle E}$ на линейные множители.

Алгебраическое расширение ${\displaystyle E\supset K}$ называется сепарабельным , если каждый элемент ${\displaystyle E}$ является сепарабельным, то есть его минимальный многочлен не имеет кратных корней. В частности, теорема о примитивном элементе утверждает, что любое конечное сепарабельное расширение имеет примитивный элемент (то есть является простым расширением). Расширение Галуа — это расширение, являющееся одновременно сепарабельным и нормальным.

Для любого расширения ${\displaystyle E\supset K}$ можно рассмотреть группу автоморфизмов поля ${\displaystyle E}$ , действующих тождественно на поле ${\displaystyle K}$ . Когда расширение является расширением Галуа, эта группа называется группой Галуа данного расширения.

Для расширения ${\displaystyle E\supset K}$ часто бывает полезно описать промежуточные поля (то есть подполя ${\displaystyle E}$ , содержащие ${\displaystyle K}$ ). Основная теорема теории Галуа утверждает, что существует биекция между множеством промежуточных полей и множеством подгрупп группы Галуа, обращающая порядок по включению.

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М. : Наука, 1975.
• Зарисский О. , Самюэль П. Коммутативная алгебра. — т. 1. — М. : ИЛ, 1963.
• Ленг С. Алгебра. — М. : Мир, 1967.
• P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics) — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-8218-4781-3 .