Полугруппа в общей алгебре — множество с заданной на нём ассоциативной бинарной операцией ${\displaystyle (S,\cdot )}$ . Существуют разногласия по поводу того, нужно ли включать требование непустоты в определение полугруппы; отдельные авторы даже настаивают на необходимости наличия нейтрального элемента («единицы»). Однако более общепринятым является подход, согласно которому полугруппа не обязательно является непустой и не обязательно содержит нейтральный элемент. Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом ; любую полугруппу ${\displaystyle S}$ , не содержащую нейтральный элемент, можно превратить в моноид, добавив к ней некоторый элемент ${\displaystyle e\not \in S}$ и определив ${\displaystyle es=s=se\ \forall s\in S\cup \{e\};}$ полученный моноид обычно обозначается как ${\displaystyle S^{1}}$ .

Примеры полугрупп: натуральные числа с операцией сложения , множество всех отображений множества в себя с операцией композиции , множество всех слов над некоторым алфавитом с операцией конкатенации . Любая группа является также и полугруппой; Идеал кольца всегда является полугруппой относительно операции умножения.

Определение

Полугруппой является (непустое) множество ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$ , в котором для любой пары взятых в определённом порядке элементов ${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {U}}}$ определён новый элемент, называемый их произведением ${\displaystyle U=XY\in {\mathfrak {U}}}$ , причём для любых ${\displaystyle X,Y,Z\in {\mathfrak {U}}}$ всегда выполнено ${\displaystyle (XY)Z=X(YZ)}$ .

Виды полугрупп

Полугруппа ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$ называется коммутативной (или абелевой ), если для любых ${\displaystyle A,B\in {\mathfrak {U}}}$ всегда выполнено ${\displaystyle AB=BA}$ .

Важные классы образуют полугруппы с сокращением :

• с левым сокращением , если при любых ${\displaystyle X,A,B\in {\mathfrak {U}}}$ из ${\displaystyle XA=XB}$ всегда следует ${\displaystyle A=B}$ ;
• с правым сокращением , если при любых ${\displaystyle Y,A,B\in {\mathfrak {U}}}$ из ${\displaystyle AY=BY}$ всегда следует ${\displaystyle A=B}$ ;
• с двусторонним сокращением , если является полугруппой и с левым, и с правым сокращением одновременно.

Элемент ${\displaystyle A}$ полугруппы ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$ называется регулярным , если в ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$ найдется такой элемент ${\displaystyle X}$ , что ${\displaystyle AXA=A}$ . Полугруппа, все элементы которой регулярны, называется регулярной полугруппой .

Элемент ${\displaystyle A}$ полугруппы ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$ называется вполне регулярным , если в ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$ найдется такой элемент ${\displaystyle X}$ , что ${\displaystyle AXA=A}$ и ${\displaystyle AX=XA}$ . Вполне регулярная полугруппа — полугруппа, все элементы которой вполне регулярны .

Полугруппа ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$ , в которой для любых ${\displaystyle A,B\in {\mathfrak {U}}}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$ всегда найдутся такие ${\displaystyle X,Y}$ , что ${\displaystyle XA=B}$ и ${\displaystyle AY=B}$ , является группой .

Структура полугруппы

Если ${\displaystyle A,B\subset S}$ , то принято обозначать ${\displaystyle AB=\{ab\mid a\in A,b\in B\}}$ .

Подмножество ${\displaystyle A}$ полугруппы ${\displaystyle S}$ называется подполугруппой , если оно само является полугруппой относительно ограничения операции на подмножество. Для этого достаточно, чтобы для любых двух элементов из ${\displaystyle A}$ их произведение также принадлежало ${\displaystyle A}$ .

Если подмножество ${\displaystyle A}$ непусто и ${\displaystyle AS}$ (соответственно, ${\displaystyle SA}$ ) лежит в ${\displaystyle A}$ , то ${\displaystyle A}$ называют правым (соответственно, левым) идеалом . Если ${\displaystyle A}$ является одновременно левым и правым идеалом, то его называют двусторонним идеалом, или просто идеалом.

Пересечение и объединение любого семейства подполугрупп также является подполугруппой; из этого следует, что подполугруппы образуют . Пример полугруппы, в которой нет минимального идеала — положительные целые числа с операцией сложения. Если же наименьший идеал есть, а полугруппа коммутативна, то он является группой.

Благодаря ассоциативности, можно корректно определить натуральную степень элемента полугруппы как:

${\displaystyle a^{n}={\overset {n}{\overbrace {a\cdot a\cdot \dots \cdot a} }}}$ .

Для степени элемента справедливо соотношение ${\displaystyle a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n},(a^{n})^{m}=a^{nm},\forall n,m\in \mathbb {N} }$ .

Частным случаем полугрупп являются полугруппы с делением , в которых для каждых двух элементов ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ определено правое ${\displaystyle (a/b)}$ и левое ${\displaystyle (b/a)}$ частное.

В конечной полугруппе всегда есть идемпотент (элемент, для которого ${\displaystyle aa=a}$ ).

Гомоморфизм полугрупп — это отображение, сохраняющее структуру полугруппы. А именно, отображение ${\displaystyle f}$ из полугруппы ${\displaystyle R}$ в полугруппу ${\displaystyle S}$ называется гомоморфизмом, если ${\displaystyle \forall a,b\in S\ f(ab)=f(a)f(b)}$ . Две полугруппы ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle T}$ называются изоморфными , если существует биективный гомоморфизм ${\displaystyle f\colon S\to T}$ .

Отношения Грина

В 1951 году ввёл пять фундаментальных отношений эквивалентности на полугруппе. Они оказались существенными для понимания полугруппы как в локальном, так и в глобальном аспектах. Отношения Грина на полугруппе ${\displaystyle S}$ определяются следующими формулами:

${\displaystyle aRb\Leftrightarrow aS^{1}=bS^{1}}$

${\displaystyle aLb\Leftrightarrow S^{1}a=S^{1}b}$

${\displaystyle aJb\Leftrightarrow S^{1}aS^{1}=S^{1}bS^{1}}$

${\displaystyle H=L\cap R}$

${\displaystyle D=R\vee L}$

Из определения непосредственно следует, что ${\displaystyle R}$ — правая конгруэнция , а ${\displaystyle L}$ — левая конгруэнция. Также известно, что ${\displaystyle D=R\circ L=L\circ R}$ . Одним из наиболее фундаментальных утверждений в теории полугрупп является лемма Грина, которая утверждает, что если элементы ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ R-эквивалентны, ${\displaystyle u}$ , ${\displaystyle v}$ такие, что ${\displaystyle au=b}$ , ${\displaystyle bv=a}$ и ${\displaystyle p_{u},p_{v}}$ — соответствующие правые сдвиги, то ${\displaystyle p_{u},p_{v}}$ — взаимно обратные биекции ${\displaystyle L_{a}}$ на ${\displaystyle L_{b}}$ и наоборот соответственно. Также они сохраняют H-классы.

Примечания

Литература

• Шеврин Л. Н. Глава IV. Полугруппы // Общая алгебра / Под общ. ред. . — М. : Наука , 1991. — Т. 2. — С. 11—191. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4 .
• Полугруппы. — М. : Физматлит, 1960. — 592 с.