Петля в топологическом пространстве X — это непрерывное отображение f единичного отрезка I = [0,1] в X , такое что f (0) = f (1). Другими словами, это путь , начальная точка которого совпадает с конечной .

Петлю можно также рассматривать как непрерывное отображение f единичной окружности S ¹ в X , поскольку S ¹ можно считать факторпространством I при отождествлении 0 с 1.

Пусть X — топологическое пространство, x ₀ ∈ X . Непрерывное отображение l : S ¹ → X , такое что l(1) = x ₀ , называется круговой петлёй в x ₀ . Каждой круговой петле в точке x ₀ можно сопоставить петлю пространства X в той же точке, взяв композицию l с отображением I → S ¹ , заданным формулой t →e ^2πit . Всякая петля может быть получена из круговой петли таким образом.

Круговые петли называются гомотопными (или эквивалентными ), если они {1}-гомотопны (то есть если гомотопия между ними является связанной в точке 1 ∈ S ¹ ). Соответствующие классы эквивалентности называются гомотопическими классами петель.

Непустое топологическое пространство называется односвязным , если оно линейно связно и всякая петля в нём гомотопна постоянной петле .

Множество гомотопических классов петель в точке образует группу с операцией композиции путей. Эта группа называется фундаментальной группой пространства X в отмеченной точке x ₀ .

Множество всех петель в X образует пространство, называемое пространством петель пространства X .

См. также

• Пространство петель
• Фундаментальная группа
• Квазигруппа

Примечания

Литература

• John Frank Adams. Infinite Loop Spaces. — Princeton University Press, 1978. — Т. 90. — (Annals of mathematics studies). — ISBN 9780691082066 .
• О.Я. Виро, О.А. Иванов, Н.Ю. Нецветаев, В.М. Харламов. Элементарная топология. — М. : МЦНМО, 2010. — ISBN 978-5-94057-587-0 .