У́зел в математике — вложение окружности (одномерной сферы) в трёхмерное евклидово пространство , рассматриваемое с точностью до изотопии . Основной предмет изучения теории узлов . Два узла топологически эквивалентны , если один из них можно продеформировать в другой, причём в процессе деформации не должно возникать самопересечений.

Частным случаем является вопрос о распознавании тривиальности того или иного узла, то есть о том, является ли заданный узел изотопным тривиальному узлу (можно ли его развязать).

Для определения того, является ли конкретный узел тривиальным, можно использовать различные инварианты узлов , например многочлен Александера или фундаментальную группу дополнения . Обычно их можно посчитать, исходя из узловой диаграммы .

В топологии рассматриваются узлы только на замкнутых линиях, потому что не замкнутые можно развязать .

Определение

Узел - гладкое подмногообразие трехмерной сферы ${\displaystyle S^{3},}$ гомеоморфное ${\displaystyle S^{1}.}$ Под ${\displaystyle S^{3}}$ понимается ориентированная трехмерная сфера, а ориентация окружности ${\displaystyle S^{1}}$ обычно несущественна.

Узел ${\displaystyle Y}$ называется срезанным , если существует двухмерный диск ${\displaystyle D\subset B^{4},}$ что ${\displaystyle Y=\partial D}$ (см. Граница (топология) и Расслоение на окружности ).

Узлы ${\displaystyle Y_{1},Y_{2}}$ являются кобордантными , если существует гладко вложенное в ${\displaystyle S^{3}\times I}$ кольцо, которое пересекает ${\displaystyle S\times \{t\}}$ по ${\displaystyle Y_{t}}$ ( ${\displaystyle t=0,1}$ ) (см. Семейство (математика) ). Группа кобордизмов узлов ${\displaystyle K_{1}^{3}}$ - кобордантные ориентированные узлы с операцией связного суммирования . Рассмотрим ${\displaystyle K_{n}^{n+2}}$ сферы в сфере ${\displaystyle S^{n+2}.}$ Если ${\displaystyle n}$ четно, то ${\displaystyle K_{n}^{n+2}=0.}$

Связка

Понятия косы и узла обобщаются понятием связки. Связка с ${\displaystyle k}$ входами и ${\displaystyle l}$ выходами (то есть, ${\displaystyle (k,l)}$ -связка) - система непересекающихся дуг и окружностей, гладко вложенных в полосу ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times [0,1],}$ такая, что концы дуг есть точками ${\displaystyle (1,0,0),\,(2,0,0),\,...,(k,0,0)}$ и ${\displaystyle (1,0,1),\,(2,0,1),\,...,(l,0,1);}$ окружности лежат в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times (0,1).}$ Эти дуги и окружности в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times [0,1]}$ называются компонентами связки .

Классификация

Трилистник , узел ${\displaystyle 3_{1}}$ является первым нетривиальным узлом и единственным узлом с числом пересечений три. Он является простым и перечислен с под номером 3 ₁ в . для трилистника — 4 6 2, а нотация Конвея трилистника — [3].

Трилистник нетривиален, что означает, что невозможно «развязать» трилистник в трёхмерном пространстве без разрезания. С математической точки зрения это означает, что трилистник не изотопен тривиальному узлу . В частности, не существует последовательности движений Рейдемейстера , с помощью которых узел развязывается.

Восьмёрка , четырёхкратный узел или узел Листинга , узел ${\displaystyle 4_{1}}$ ― один из простейших нетривиальных узлов. Восьмёрка обозначается символом ${\displaystyle 4_{1}}$ . Впервые рассмотрен Листингом , учеником Гаусса, в 1847 году .

Трилистник хирален в том смысле, что трилистник отличается от своего собственного зеркального отражения. Два варианта трилистника известны как левосторонний и правосторонний. Невозможно путём деформации левосторонний вариант непрерывным образом перевести в правосторонний или наоборот. (То есть, эти два трилистника не изотопны.)

Также, можно показать, что трилистник (как правый, так и левый) неизотопен восьмёрке.

Пятилистник , известный также как узел ${\displaystyle 5_{1}}$ в обозначениях Александера и Бриггса, узел «Лапчатка» и печать Соломона , — это узел, для которого число пересечений (минимальное возможное число самопересечений на диаграмме — плоском рисунке — узла) равно пяти.

Для многокомпонентных узлов в верхнем индексе указывается количество компонентов: например, зацепление двух колец имеет символическую запись ${\displaystyle 2_{1}^{2}}$ .

Это были примеры полиномиальных узлов. Неполиномиальным узлом является дикий узел

Ди́кий у́зел — узел ${\displaystyle L}$ в евклидовом пространстве ${\displaystyle E^{3}}$ такой, что не существует гомеоморфизма ${\displaystyle E^{3}}$ на себя, при котором ${\displaystyle L}$ переходит в замкнутую ломаную, состоящую из конечного числа отрезков.

Узлы и зацепления

Вложение (чаще — его образ) несвязной суммы ${\displaystyle \mu }$ экземпляров окружности в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ или ${\displaystyle S^{3}}$ называется зацеплением кратности ${\displaystyle \mu }$ .

Зацепление кратности ${\displaystyle \mu =1}$ называется узлом .

Узлы, составляющие данное зацепление, называются его компонентами .

Инварианты узлов

В теории узлов число пересечений узла — это наименьшее число пересечений на любой диаграмме узла. Число пересечений является инвариантом узла .

Например, тривиальный узел имеет нулевое число пересечений, число пересечений трилистника равно трём, а число пересечений восьмёрки равно четырём.

Дополнение узла

утверждает, что дополнение узла (как топологического пространства ) является «полным инвариантом» узла, в том смысле, что он отличает заданный узел от всех остальных с точностью до объемлющей изотопии и зеркального отражения . Среди инвариантов, связанных с дополнением узла, есть группа узла , которая является просто фундаментальной группой его дополнения.

Примечания

Литература

• Simon Jonathan. Mathematical Approaches to Biomolecular Structure and Dynamics / Jill P. Mesirov, Klaus Schulten, De Witt Sumners. — 1996. — Т. 82. — (The IMA Volumes in Mathematics and its Applications). — doi : .
• P.G. Tait. Scientific papers. — Cambridge University Press, 1898. — Т. 1.
• C. A. Adams. The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. — American Mathematical Society, 2004. — ISBN 9780821836781 .
• Кроуэлл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов / Пер. с англ. — Череповец: Меркурий-Пресс, 2000. — 348 с. — ISBN 5-1148-0112-0 . .
• Мантуров В. О. Теория узлов. — М. : РХД, 2005. — 512 с. — ISBN 5-93972-404-3 . .
• Мантуров В. О. Лекции по теории узлов и их инвариантов. — М. : Едиториал УРСС, 2001. — 204 с. — ISBN 5-8360-0287-8 . .
• Милнор Дж. Особые точки комплексных гиперповерхностей / Пер. с англ. — М. : Мир, 1971. — 127 с.
• Мандельбаум Р. Четырёхмерная топология / Пер. с англ. — М. : Мир, 1981. — 286 с.
• Hillman J. A. Alexander ideals of links B. — Hdlb. — N. Y., 1981.
• Джонс, Воган Ф. Р. // Scientific American (издание на русском языке). — № 1. — 1991. — С. 44—50.
• Сосинский, А. Б. . — М. : МЦНМО , 2001. — Т. 10. — 24 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-76-6 . .
• Статьи // Математическое просвещение . — № 3. — 1999.
• Мантуров В. О. // Сетевой образовательный журнал . — 2004. — Т. 8 , № 1 . — С. 122—127 .
• H. Gruber. . — 2003. — arXiv : .
• Yuanan Diao. The additivity of crossing numbers // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 2004. — Т. 13 , вып. 7 . — doi : .
• Marc Lackenby. The crossing number of composite knots // Journal of Topology. — 2009. — Т. 2 , вып. 4 . — doi : .
• Honda K. . (англ.)
• Etnyre J. B. . (англ.)
• Birman J.S. . (англ.)
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .