Задание группы в теории групп — один из методов описания группы , который состоит в указании её образующих и соотношений между ними. Задание группы также называют её копредставлением или генетическим кодом .

Краткое описание данного метода состоит в следующем. Пусть подмножество ${\displaystyle S}$ группы ${\displaystyle G}$ порождает её, то есть каждый её элемент может быть записан словом в алфавите из элементов из ${\displaystyle S}$ и обратных к ним. При такой кодировке конкатенация слов соответствует умножению элементов группы, а значит, теоретически вся групповая структура задаётся информацией о том, какие пары таких слов представляют один и тот же элемент группы ${\displaystyle G}$ . Такие пары называются соотношениями. Некоторые соотношения можно вывести из других, например, если ${\displaystyle ab=ba}$ и ${\displaystyle b=c}$ , то ${\displaystyle ac=ca}$ . Метод задания группы образующими и соотношениями состоит в том, чтобы указать (по возможности небольшой) список ${\displaystyle R}$ определяющих соотношений , которого, с учетом заранее оговоренных правил вывода, хватит для хранения полной информации о группе. В этом случае пишут ${\displaystyle G\cong \langle S\mid R\rangle }$ .

Данный метод описания групп более эффективен чем, например, таблицы Кэли . Так, использование таблиц Кэли невозможно для бесконечных групп и нецелесообразно даже для конечных групп большого порядка. Например, таблица Кэли циклической группы порядка ${\displaystyle n}$ состоит из ${\displaystyle n^{2}}$ элементов, но эта группа допускает вполне краткое задание: ${\displaystyle \langle a\mid a^{n}=1\rangle }$ , которое означает, что любой её элемент можно записать как степень элемента ${\displaystyle a}$ , и при этом ${\displaystyle n}$ — наименьшая такая степень, что ${\displaystyle a^{n}}$ — нейтральный элемент.

Каждая не более чем счётная группа допускает задание образующими и соотношениями. Смысл обозначения ${\displaystyle G\cong \langle S\mid R\rangle }$ состоит в том, что если группа имеет такое задание, то она изоморфна факторгруппе свободной группы с базисом ${\displaystyle S}$ по нормальному замыканию множества ${\displaystyle R}$ определяющих соотношений .

Предыдущий изоморфизм позволяет установить так называемое универсальное свойство задания групп образующими и соотношениями. Так, с точки зрения теории категорий группа ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ — это «наиболее свободная» из всех групп, порождаемых ${\displaystyle S}$ , в которой элементы из ${\displaystyle S}$ подчиняются соотношениям из ${\displaystyle R}$ .

Задания являются основным инструментом комбинаторной теории групп .

Связанные определения

Группа называется конечно представимой , конечно заданной или конечно определённой , если она может быть задана конечным числом образующих и конечным числом соотношений.

Каждая конечно представимая группа является конечно порождённой , но обратное в общем случае неверно. Например, лампочная группа является конечно порождённой, но не конечно представимой.

Терминология

Термин « задание » не является абсолютно общеупотребительным. В некоторых книгах используется термин « (генетический) код группы ». Также можно встретить понятие « представление группы » в обсуждаемом здесь смысле , оно может считаться переводом англ. group presentation , однако является двусмысленным, так как термин представление группы ( англ. group representation ) широко распространён для так называемых линейных представлений групп — последние никак не связаны с заданием и, более того, в каком-то смысле противоположны ему.

Имея в виду последнее, задание также иногда называют « копредставлением ». Вернее, копредставлением может называться упомянутый выше изоморфизм факторгруппы свободной группы в рассматриваемую группу ${\displaystyle G}$ . Приставка «ко-» указывает на дуальность этого изоморфизма по отношению к представлению группы, «когда, наоборот, гомоморфизм строится не „в“ G, а „из“ G в некоторую [хорошо изученную] группу линейных операторов, перестановок и т. п.» .

Свойства

Имеет место теорема о том, что произвольная группа является факторгруппой подходящей свободной группы по некоторой нормальной подгруппе , так что любая группа обладает заданием. Задание не обязано быть единственным. Доказать или опровергнуть, что два задания определяют одну и ту же группу, сложно (старое название проблемы — одна из проблем Дэна). В общем случае эта проблема алгоритмически неразрешима . Существует несколько классов групп, для которых построен алгоритм решения этой проблемы. Перейти от одного задания группы к другому позволяют преобразования Титце четырёх типов: первое преобразование Титце — это добавление в множество соотношений нового соотношения, выводимого из старых; второе преобразование Титце — это ввод новой переменной, выраженной через старые; третье и четвёртое преобразования Титце обратны первому и второму соответственно. Ввиду алгоритмической неразрешимости проблемы, поиск цепочки преобразований Титце одного представления в другое является своего рода искусством.

По заданию группы также сложно определить и другие свойства группы, например её порядок или подгруппу кручения .

Примеры

В следующей таблице перечислены способы задания некоторых часто встречающихся групп. В каждом случае существуют и другие возможные задания.

Группа	Задание	Пояснения
Свободная группа на S	${\displaystyle \langle S\mid \varnothing \rangle }$	Свободная группа «свободна» в том смысле, что она не ограничивается никакими соотношениями.
Z n — циклическая группа порядка n	${\displaystyle \langle a\mid a^{n}\rangle }$
D n — группа диэдра порядка 2 n	${\displaystyle \langle r,s\mid r^{n}=1,s^{2}=1,s^{-1}rs=r^{-1}\rangle }$ или ${\displaystyle \langle x,y\mid x^{n}=y^{2}=(xy)^{2}=1\rangle }$	r обозначает поворот, s — симметрию
D ∞ —	${\displaystyle \langle r,s\mid s^{2},(rs)^{2}\rangle }$
Группа кватернионов Q 8	${\displaystyle \langle -1,i,j,k\mid (-1)^{2}=1,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1\rangle }$ или ${\displaystyle \langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle }$
Обобщённая группа кватернионов Q 4 n	${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2n}=y^{4}=1,x^{n}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle .}$
свободная абелева группа на S	${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$	R — множество всех коммутаторов элементов S
Симметрическая группа S n	${\displaystyle \langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}|\sigma _{i}^{2},\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if}}\ |i-j|>1\rangle }$ или ${\displaystyle \langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}|\sigma _{i}^{2},(\sigma _{i}\sigma _{i+1})^{3},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if}}\ |i-j|>1\rangle }$	σ i — транспозиция, меняющая местами i -й элемент с i +1-м.
Группа кос B n	${\displaystyle \langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}|\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if}}\ |i-j|>1\rangle }$	Единственное отличие от симметрической группы — исчезновение соотношений ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=1}$ .
Знакопеременная группа A n	${\displaystyle \langle s_{3},...,s_{n}|(s_{i})^{3}=1,(s_{i}s_{j})^{2}=1(3\leqslant i\neq j\leqslant n)\rangle }$	${\displaystyle s_{i}\to (12i)}$
Группа вращений тетраэдра , T ≅ A 4	${\displaystyle \langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{3}\rangle }$
Группа вращений октаэдра , O ≅ S 4	${\displaystyle \langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{4}\rangle }$
Группа вращений икосаэдра , I ≅ A 5	${\displaystyle \langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle }$
Группа Коксетера	${\displaystyle \langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\rangle }$	r n — отражения в гранях многогранника, ${\displaystyle m_{ii}=1}$ и ${\displaystyle m_{ij}\geqslant 2}$ при ${\displaystyle i\neq j}$ , ${\displaystyle m_{ij}=\infty }$ — если грани не образуют двугранного угла в многограннике
Группа треугольника Δ( l , m , n )	${\displaystyle \langle a,b,c\mid a^{2}=b^{2}=c^{2}=(ab)^{l}=(bc)^{n}=(ca)^{m}=1\rangle }$	a , b , c — отражения
Z × Z	${\displaystyle \langle x,y\mid xy=yx\rangle }$
Z / m Z × Z / n Z	${\displaystyle \langle x,y\mid x^{m},y^{n},xy=yx\rangle }$
SL(2, Z )	${\displaystyle \langle a,b\mid aba=bab,(aba)^{4}\rangle }$
GL(2, Z )	${\displaystyle \langle a,b,j\mid aba=bab,(aba)^{4},j^{2},(ja)^{2},(jb)^{2}\rangle }$
Модулярная группа PSL(2, Z )	${\displaystyle \langle a,b\mid a^{2},b^{3}\rangle }$	PSL(2, Z ) — свободное произведение Z /2 Z и Z /3 Z
Группа Титса F 4 (2)	${\displaystyle \langle a,b\mid a^{2}=b^{3}=(ab)^{13}=[a,b]^{5}=[a,bab]^{4}=(ababababab^{-1})^{6}=1\rangle }$	[ a , b ] — коммутатор

См. также

• Свободная группа

Ссылки