Периодическая фу́нкция
―
функция
, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (
пери́ода
функции) на всей области определения.
Говоря более формально, функция называется периодической с периодом
, если для каждой точки
из её области определения точки
и
также принадлежат её области определения, и для них выполняется равенство
.
Исходя из определения, для периодической функции справедливо также равенство
, где
— любое целое число.
Если это
равенство
не выполнено ни для какого
, то функция
называется
апериоди́ческой
.
Если для функции
существуют два периода
,
отношение
которых не равно
вещественному числу
, то есть
, то
называется
двоякопериоди́ческой фу́нкцией
.
В этом случае значения
на всей плоскости определяются значениями в
параллелограмме
, натянутом на
.
Замечание
Период функции определён неоднозначно. В частности, если
— период, то и любой элемент
вида
(или
, если в области определения функции определена операция умножения), где
— произвольное
натуральное число
, также является периодом.
Функция
, определённая на
целых числах
, является периодической с основным периодом
.
Функция, равная константе
, является периодической, и любое ненулевое число является её периодом. Основного периода функция не имеет.
Функция Дирихле
является периодической, её периодом является любое ненулевое рациональное число. Основного периода она также не имеет.
Функция
является апериодической.
Некоторые особенности периодических функций
Сумма двух функций с
соизмеримыми
периодами
и
не всегда является функцией с
основным
периодом, равным
наименьшему общему кратному
и
(однако просто периодом это число будет являться). Например, у функции
основной период равен
, у функции
период равен
, а у их суммы
основной период, очевидно, равен
.
Сумма двух функций с несоизмеримыми периодами не всегда является непериодической функцией.
Существуют периодические функции, не равные константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа. Например, у функции
, принимающей значения 1 при
алгебраическом
x и 0 в остальных случаях, любое алгебраическое число является периодом, а среди алгебраических чисел есть и несоизмеримые.