Гауссовская оптика (также параксиальная оптика ) — теория идеальных оптических систем для малых углов.

Основные положения

В параксиальной области (бесконечно близко к оптической оси ), любая реальная система ведет себя как идеальная:

• Каждой точке пространства предметов можно поставить в соответствие сопряженную ей точку в пространстве изображений .
• Каждая прямая линия имеет сопряженную ей прямую линию в пространстве изображений.
• Каждая плоскость пространства предметов имеет сопряженную ей плоскость в пространстве изображений.

Из этих положений следует, что:

• плоскость имеет сопряженную ей меридиональную плоскость в пространстве изображений.
• Плоскость в пространстве предметов, перпендикулярная оптической оси, имеет сопряженную ей плоскость, перпендикулярную оптической оси в пространстве изображений.

Линейное, угловое, продольное увеличение

Линейное (поперечное) увеличение оптической системы — это отношение линейного размера изображения в направлении, перпендикулярном оптической оси, к соответствующему размеру предмета в направлении перпендикулярном оптической оси (рис.1).

${\displaystyle V=\beta ={\frac {y'}{y}}}$ , (1)

Если V > 0, то отрезки y и y' направлены в одну сторону, если V < 0 , то отрезки y и y' направлены в разные стороны, то есть происходит оборачивание изображения.

Если | V | > 1, то величина изображения больше величины предмета, если | V |< 1, то величина изображения меньше величины предмета.

Для идеальной оптической системы линейное увеличение для любой величины предмета и изображения в одних и тех же плоскостях одно и то же.

Угловое увеличение оптической системы — это отношение тангенса угла между лучом и оптической осью в пространстве изображений к тангенсу угла между сопряженным с ним лучом в пространстве предметов и осью (рис.2).

${\displaystyle W={\frac {\tan \alpha '}{\tan \alpha }}}$ , (2)

В параксиальной области углы малы, и следовательно, угловое увеличение — это отношение любых из следующих угловых величин:

${\displaystyle W={\frac {\tan \alpha '}{\tan \alpha }}={\frac {\sin \alpha '}{\sin \alpha }}={\frac {\alpha '}{\alpha }}}$ , (3)

Продольное увеличение оптической системы — это отношение бесконечно малого отрезка, взятого вдоль оптической оси в пространстве изображений, к сопряженному с ним отрезку в пространстве предметов (рис.3).

${\displaystyle Q={\frac {l'}{l}}}$ , (4)

Кардинальные точки и отрезки

Рассмотрим плоскости в пространстве предметов и сопряженные им плоскости в пространстве изображений. Найдем пару плоскостей, в которых линейное увеличение равно единице. В общем случае такая пара плоскостей существует, причем только одна (исключением являются афокальные или телескопические системы, для которых такие плоскости могут не существовать или их может быть бесконечное множество).

• Главными плоскостями системы называется пара сопряженных плоскостей, в которых линейное увеличение равно единице ( V = 1).
• Главные точки H и H '— это точки пересечения главных плоскостей с оптической осью.

Рассмотрим случай, когда линейное увеличение равно нулю, или бесконечности. Отодвинем плоскость предметов бесконечно далеко от оптической системы. Сопряженная ей плоскость называется задней фокальной плоскостью , а точка пересечения этой плоскости с оптической осью — задний фокус F ' (рис.4).

• Расстояние от задней главной точки до заднего фокуса называется задним фокусным расстоянием f '.
• Расстояние от последней поверхности до заднего фокуса называется задним фокальным отрезком S ' _F .
• Передний фокус — это точка на оптической оси в пространстве предметов, сопряженная с бесконечно удаленной точкой, расположенной на оптической оси в пространстве изображений

Если лучи выходят из переднего фокуса, то они идут в пространстве изображений параллельно.

• Переднее фокусное расстояние f — это расстояние от передней главной точки до переднего фокуса.
• Передний фокальный отрезок S _F — это расстояние от первой поверхности до переднего фокуса.

Если f ' > 0, то система называется собирающей или положительной . Если f ' < 0 , то система рассеивающая или отрицательная .

Переднее и заднее фокусные расстояния не являются абсолютно независимыми, они связаны между собой соотношением:

${\displaystyle {\frac {f'}{f}}=-{\frac {n'}{n}}}$ , (5)

Выражение (5) можно переписать в виде:

${\displaystyle {\frac {f'}{n'}}=-{\frac {f}{n}}}$ , (6)

где ${\displaystyle {\frac {f'}{n'}}}$ — приведенное или эквивалентное фокусное расстояние .

В том случае, если оптическая система находится в однородной среде (например, в воздухе) n = n ', следовательно, переднее и заднее фокусные расстояния равны по абсолютной величине | f | = | f '|.

Оптическая сила оптической системы:

${\displaystyle \Phi ={\frac {n'}{f'}}=-{\frac {n}{f}}}$ , (7)

Чем больше оптическая сила, тем сильнее оптическая система изменяет ход лучей. Если Φ = 0 то ${\displaystyle f'=\inf }$ .

Построение изображений

Найдем изображение A ' точки A . Для этого необходимо построить хотя бы два вспомогательных луча, на пересечении которых и будет находиться точка A ' (рис.5). Вспомогательный луч 1 можно провести через точку A параллельно оптической оси. Тогда в пространстве изображений луч 1' пройдет через задний фокус оптической системы. Вспомогательный луч 2 можно провести через точку A и передний фокус оптической системы. Тогда в пространстве изображений луч 2' пойдет параллельно оптической оси. На пересечении лучей 1' и 2' будет находиться изображение точки A . Теперь в точке A ' пересекаются все лучи (1-2-3), выходящие из точки A .

Построим теперь ход луча r (рис.6).

1 способ . Можно построить вспомогательный луч, параллельный данному и проходящий через передний фокус (луч 1). В пространстве изображений луч 1' будет идти параллельно оптической оси. Так как лучи r и 1 параллельны в плоскости предметов, то в пространстве изображений они должны пересекаться в задней фокальной плоскости. Следовательно, луч r ' пройдет через точку пересечения луча 1' и задней фокальной плоскости. 2 способ . Можно построить вспомогательный луч, идущий параллельно оптической оси и проходящий через точку пересечения луча r и передней фокальной плоскости (луч 2). Соответствующий ему луч в пространстве изображений (луч 2') будет проходить через задний фокус. Так как лучи r и 2 пересекаются в передней фокальной плоскости, в пространстве изображений они должны быть параллельными. Следовательно, луч r ' пойдет параллельно лучу 2'.

Литература

1. Михельсон Н. Н. Оптика астрономических телескопов и методы её расчета. — М.: Физматлит, 1995. — 333 с.
2. Родионов С. А., Вознесенский Н. Б., Иванова Т. В. Электронный учебник по дисциплине: «Основы оптики».