Рассе́яние части́ц — изменение направления движения частиц в результате столкновений с другими частицами.

Количественно рассеяние характеризуется эффективным поперечным сечением .

Обычно рассматривается распространенная экспериментальная ситуация, когда частица налетает на другую частицу ( мишень ), которую можно считать неподвижной. После столкновения частица изменяет направление движения, а частица-мишень испытывает отдачу .

Система отсчета , в которой мишень неподвижна, называется лабораторной. Теоретически рассеяние удобнее рассматривать в системе отсчета центра инерции , ограничиваясь только относительным движением частиц. Так, в случае рассеяния двух частиц в системе центра масс задача сводится к рассеянию одной частицы с приведенной массой на неподвижной мишени.

Рассеяние называется упругим , если суммарная кинетическая энергия системы частиц не изменяется, не происходит изменения внутреннего состояния частиц или превращения одних частиц в другие. В противном случае рассеяние называется неупругим , при этом кинетическая энергия переходит в другие виды энергии с изменением коллективных (например, деформация ) или микроскопических (например, ) степеней свободы налетающих частиц или мишени.

Обычно экспериментальная мишень состоит из многих частиц. Если мишень тонка, то частица успевает рассеяться лишь один раз. Такое рассеяние называется однократным рассеянием . При толстой мишени нужно принимать во внимание многократное рассеяние частиц .

Классическая физика

Если рассеиваемые частицы имеют масштабы атома, то классическое решение задачи рассеяния является приближением к точному квантовомеханическому решению.

В классической механике рассеяние частиц можно рассматривать в рамках задачи двух тел , которая сводится к задаче рассеяния одной частицы с приведённой массой на неподвижном силовом центре (который совпадает с центром инерции ). При взаимодействии с силовым центром траектория частиц изменяется и происходит рассеяние.

Однородный пучок тождественных частиц с массами ${\displaystyle m_{1}}$ и скоростями ${\displaystyle {\vec {v_{\infty }}}}$ падает с бесконечно большого расстояния на некоторую совокупность тождественных частиц-мишеней с массами ${\displaystyle m_{2}}$ , покоящихся относительно лабораторной системы отсчёта. Известен закон зависимости потенциальной энергии взаимодействия между частицами ${\displaystyle m_{1}}$ и ${\displaystyle m_{2}}$ от расстояния ${\displaystyle U(r)}$ . Требуется определить число частиц с массой ${\displaystyle m_{1}}$ , рассеивающихся в единицу времени в элемент телесного угла ${\displaystyle d\Omega _{1}}$ и число частиц с массой ${\displaystyle m_{2}}$ , рассеивающихся за то же время в элемент телесного угла ${\displaystyle d\Omega _{2}}$ .

В случае, когда пучок налетающих частиц и совокупность частиц-мишеней достаточно разрежены, решение поставленной задачи существенно упрощается, так как можно пренебречь взаимодействием между частицами одного и того же сорта, а столкновения между частицами пучка и частицами мишени считать однократными. Это даёт возможность свести задачу к рассмотрению однократного рассеяния каждой частицы пучка на какой-либо одной частице-мишени.

Это хорошо известная задача об инфинитном относительном движении в системе двух взаимодействующих частиц ${\displaystyle m_{1}}$ и ${\displaystyle m_{2}}$ или эквивалентная ей задача о движении фиктивной частицы с массой ${\displaystyle m={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$ в потенциальном поле ${\displaystyle U(r)}$ силового центра, совпадающего с центром масс какой-либо одной пары частиц .

Важнейшей характеристикой процесса рассеяния, определяемой видом рассеивающего поля, является эффективное сечение рассеяния : ${\displaystyle d\sigma ={\frac {dN}{n}}}$ , где ${\displaystyle dN}$ число частиц, рассеиваемых в единицу времени на углы, лежащие в интервале между ${\displaystyle \chi }$ и ${\displaystyle \chi +d\chi }$ , ${\displaystyle n}$ — число частиц, проходящих в единицу времени через единицу площади поперечного сечения пучка.

Если угол рассеяния является монотонно убывающей функцией прицельного расстояния, то связь между углом рассеяния ${\displaystyle \chi }$ и прицельным расстоянием ${\displaystyle \rho }$ взаимно однозначна. В этом случае рассеиваются в заданный интервал углов между ${\displaystyle \chi }$ и ${\displaystyle \chi +d\chi }$ лишь те частицы, которые летят с прицельным расстоянием в определенном интервале между ${\displaystyle \rho (\chi )}$ и ${\displaystyle \rho (\chi )+d\rho (\chi )}$ . Число таких частиц равно произведению ${\displaystyle n}$ на площадь кольца между окружностями с радиусами ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \rho +d\rho }$ , т. е. ${\displaystyle dN=2\pi \rho d\rho n}$ . Отсюда эффективное сечение ${\displaystyle d\sigma =2\pi \rho d\rho }$ .

Чтобы найти зависимость эффективного сечения от угла рассеяния, достаточно переписать это выражение в виде

${\displaystyle d\sigma =2\pi \rho (\chi )\left|{\frac {d\rho (\chi )}{d\chi }}\right|d\chi }$

Часто относят ${\displaystyle d\sigma }$ не к элементу плоского угла ${\displaystyle d\chi }$ , а к элементу телесного угла ${\displaystyle do}$ . Телесный угол между конусами с углами раствора ${\displaystyle \chi }$ и ${\displaystyle \chi +d\chi }$ есть ${\displaystyle do=2\pi sin\chi d\chi }$ . Получаем основное уравнение классической теории рассеяния

${\displaystyle d\sigma ={\frac {\rho (\chi )}{\sin \chi }}\left|{\frac {d\rho }{d\chi }}\right|do}$ (1).

Зависимость между углом отклонения ${\displaystyle \chi }$ и прицельным расстоянием ${\displaystyle \rho }$ при рассеянии частицы даётся уравнениями: : ${\displaystyle \chi =|\pi -2\varphi _{0}|}$ , где ${\displaystyle \varphi _{0}=\int _{r_{min}}^{\infty }{\frac {({\frac {\rho }{r^{2}}})dr}{\sqrt {1-{\frac {\rho ^{2}}{r^{2}}}-{\frac {2U(r)}{mv_{\infty }^{2}}}}}}}$ .

Формула (1) определяет эффективное сечение в зависимости от угла рассеяния в системе центра инерции. Для нахождения же эффективного сечения в зависимости от угла рассеяния ${\displaystyle \theta }$ в лабораторной системе надо выразить в этой формуле ${\displaystyle \chi }$ через ${\displaystyle \theta }$ согласно формулам ${\displaystyle \tan \theta _{1}={\frac {m_{2}\sin \chi }{m_{1}+m_{2}\cos \chi }}}$ , ${\displaystyle \theta _{2}={\frac {\pi -\chi }{2}}}$ .

При этом получаются выражения как для сечения рассеяния падающего пучка частиц ( ${\displaystyle \chi }$ выражено через ${\displaystyle \theta _{1}}$ ), так и для частиц, первоначально покоившихся ( ${\displaystyle \chi }$ выражено через ${\displaystyle \theta _{2}}$ ) .

Угол отклонения (угол рассеяния) показывает отклонение конечного направления распространения частицы по отношению к начальному. В классической механике он однозначно связан с импульсом ${\displaystyle p_{0}\ }$ налетающей частицы, прицельным расстоянием (прицельным параметром) ${\displaystyle \rho }$ и потенциальной энергией взаимодействия ${\displaystyle U(r)\ }$ между частицами:

${\displaystyle \chi =\pi -2\int \limits _{r_{min}}^{\infty }{\frac {\rho dr}{r^{2}{\sqrt {1-\rho ^{2}/r^{2}-U(r)/E}}}}}$

где ${\displaystyle E=p_{0}^{2}/2m}$ — кинетическая энергия налетающей частицы, ${\displaystyle m\ }$ — приведённая масса налетающей частицы, ${\displaystyle r\ }$ — расстояние до силового центра. Интегрирование ведётся от ${\displaystyle r_{min}\ }$ — точки поворота (минимального расстояния от центра), до бесконечного удаления ${\displaystyle r=\infty }$ .

При рассеянии пучка частиц вводят понятие эффективного поперечного сечения :

${\displaystyle d\sigma ={\frac {dN}{j_{0}}}=2\pi \rho d\rho }$

где ${\displaystyle dN\ }$ — число частиц, рассеянных в единицу времени на все углы, лежащие в интервале между ${\displaystyle \chi }$ и ${\displaystyle \chi +d\chi \ }$ , а ${\displaystyle j_{0}\ }$ — число частиц, проходящих в единицу времени через единицу площади поперечного сечения пучка (здесь предполагается, что плотность потока падающих частиц однородна по всему сечению пучка).

Квантовое рассеяние

В квантовой механике рассеяние частиц на мишени описывается уравнением Шрёдингера . При этом волновая функция частицы делокализирована, то есть принадлежит состояниям непрерывного спектра , и может нормироваться на поток (при этом рассматривается не одна отдельная частица, которая падает на мишень, а стационарный поток частиц). Задача в таком случае не в том, чтобы найти спектр разрешённых значений энергии (энергия частиц, которые налетают на мишень, считается известной), а в нахождении амплитуды рассеянных волн (см. ниже).

На большом расстоянии от мишени, за областью действия сил, частица описывается волновой функцией

${\displaystyle \phi =e^{i\mathbf {k} _{i}\cdot \mathbf {r} }}$ ,

где ${\displaystyle k_{i}^{2}=2\mu E/\hbar ^{2}}$ , E — энергия частицы, μ — приведённая масса , ${\displaystyle \hbar }$ — приведённая постоянная Планка .

В результате рассеяния волновая функция имеет вид наподобие : ${\displaystyle \psi =\phi +A{\frac {e^{ikr}}{r}}}$ ,

то есть в ней появляется сферическая рассеянная волна с амплитудой A , которая называется амплитудой рассеяния . Амплитуда рассеяния находится из решения уравнения Шрёдингера.

В случае неупругого рассеяния со многими может существовать несколько рассеянных сферических волн с разными значениями k и разными амплитудами рассеяния.

Применение

Упругое и неупругое рассеяние частиц является основным методом исследования в атомной и ядерной физике , а также в физике элементарных частиц . По результатам рассеяния можно получить характеристику потенциальной энергии взаимодействия частиц с мишенью и узнать о строении мишени. Так в своё время с помощью рассеивания альфа-частиц на золотой фольге, Эрнест Резерфорд установил строение атома.

С целью создания частиц высоких энергий строятся мощные ускорители .

См. также

• Метод рассеяния (физика элементарных частиц)

Литература

• Ландау Л. Д. , Лифшиц Е. М. Механика. — Издание 4-е, исправленное. — М. : Наука , 1988. — 215 с. — (« Теоретическая физика », том I). — ISBN 5-02-013850-9 .
• Ландау Л. Д. , Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М. : Наука , 1989. — 768 с. — (« Теоретическая физика », том III). — ISBN 5-02-014421-5 .
• Биленький С. М. // Физическая энциклопедия / Ред. А. М. Прохоров. — М. : Советская энциклопедия, 1992. — Т. 4. — С. 271-273.
• Ландау Л. Д. , Лифшиц Е. М. Механика. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 224 с. — (Теоретическая физика. Учебное пособие для вузов в 10 томах). — ISBN 5-9221-0055-6 .
• Жирнов Н. И. Классическая механика. — М. : Просвещение, 1980. — 303 с. — (Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов). — 28 000 экз.

См. также

• Борновское приближение
• Брилюеновское рассеивание
• Квантовая теория рассеяния
• Неупругое рассеяние
• Рамановское рассеивание
• Рэлеевское рассеяние
• Томсоновское рассеяние
• Формула Резерфорда
• Эффект Комптона

Примечания