Задача Дирихле — вид задач, появляющийся при решении дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Названа в честь Петера Густава Дирихле .

Постановка задачи

Задача Дирихле ставится следующим образом: пусть в области ${\displaystyle \Omega }$ задано уравнение

${\displaystyle \Delta u=0.}$

где ${\displaystyle \Delta }$ — оператор Лапласа . С краевыми условиями :

${\displaystyle {\Bigl .}u{\Bigr |}_{\partial \Omega }=g(\mathbf {x} ).}$

Такая задача называется внутренней задачей Дирихле или первой краевой задачей . Сами условия называются условиями Дирихле или первыми краевыми условиями . Второе название может трактоваться шире, обозначая любую задачу решения дифференциального уравнения, когда известно значение искомой функции на всей границе области. В случае, когда надо найти значения функции вне области ${\displaystyle \Omega }$ , задача называется внешней задачей Дирихле .

Связанные теоремы

Аналитическое решение

Аналитически задача Дирихле может быть решена с помощью теории потенциала . Решение однородного уравнения можно представить в виде :

${\displaystyle u(\mathbf {y} )=\int _{\partial \Omega }{g(\mathbf {x} ){\frac {\partial G(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}{\partial n}}dx},}$

где ${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}$ — функция Грина для оператора Лапласа в области ${\displaystyle \Omega }$ .

Численное решение

Построение аналитического выражения для функции Грина в сложных областях может вызвать затруднения, поэтому для решения таких задач приходится пользоваться численными методами. Для каждого метода есть свои особенности учёта первых краевых условий:

• в методе конечных разностей для узлов на границе области записывается уравнение ${\displaystyle \mathbf {q} _{i}=g(\mathbf {x} _{i})}$ , где ${\displaystyle i}$ — номер соответствующего узла;
• в методе конечных элементов такие краевые условия называют главными краевыми условиями и они учитываются на этапе сборки матрицы; для всех весов, связанных с границей, уравнения заменяются на уравнения вида ${\displaystyle \mathbf {q} _{i}=g(\mathbf {x} _{i})}$ ; далее выполняется несколько шагов метода Гаусса , чтобы полученная матрица была симметричной .

Физическая интерпретация

Физическая интерпретация условий Дирихле — поведение искомой величины на границе:

• температуры, если рассматривается уравнение теплопроводности ;
• поля скорости, если рассматривается уравнение Стокса ;
• магнитное или электрического поля, если рассматривается некоторое уравнение, получаемое из уравнений Максвелла (тогда краевые условия называют магнитными или электрическими краевыми условиями , соответственно).

См. также

• Эллиптическое уравнение
• Задача Неймана
• Интеграл Пуассона
• Преобразование Кельвина

Примечания