Правила Фудзиты — набор из семи правил, формально описывающие геометрические построения с помощью плоского оригами , подобным построениям с помощью циркуля и линейки .

Фактически они описывают все возможные способы получения одной новой складки на листе бумаги, путём совмещения уже существующих различных элементов листа — точек и линий . Под линиями подразумеваются края листа или складки бумаги, под точками — пересечения линий. Существенным моментом является то, что сгиб формируется единственной складкой, причём в результате складывания фигура остается плоской.

Часто эти правила называют «аксиомами», хотя с формальной точки зрения аксиомами они не являются.

Правила

Складки в этих правилах существуют не всегда, правило утверждает только, что если такая складка есть, то её «можно» найти.

Правило 1

Пусть заданы две точки ${\displaystyle p_{1}}$ и ${\displaystyle p_{2}}$ , тогда лист можно сложить так, что данные две точки будут лежать на складке.

Правило 2

Пусть заданы две точки ${\displaystyle p_{1}}$ и ${\displaystyle p_{2}}$ , тогда лист можно сложить так, что одна точка перейдёт в другую.

Правило 3

Пусть заданы две прямые ${\displaystyle l_{1}}$ и ${\displaystyle l_{2}}$ , тогда лист можно сложить так, что одна прямая перейдёт в другую.

Правило 4

Пусть заданы прямая ${\displaystyle l_{1}}$ и точка ${\displaystyle p_{1}}$ , тогда лист можно сложить так, что точка попадёт на складку, а прямая перейдёт сама в себя (то есть линия складки будет ей перпендикулярна).

Правило 5

Пусть заданы прямая ${\displaystyle l_{1}}$ и две точки ${\displaystyle p_{1}}$ и ${\displaystyle p_{2}}$ , тогда лист можно сложить так, что точка ${\displaystyle p_{2}}$ попадёт на складку, а ${\displaystyle p_{1}}$ — на прямую ${\displaystyle l_{1}}$ .

Правило 6 (складка Белок)

Пусть заданы две прямые ${\displaystyle l_{1}}$ и ${\displaystyle l_{2}}$ и две точки ${\displaystyle p_{1}}$ и ${\displaystyle p_{2}}$ , тогда лист можно сложить так, что точка ${\displaystyle p_{1}}$ попадёт на прямую ${\displaystyle l_{1}}$ , а точка ${\displaystyle p_{2}}$ попадёт на прямую ${\displaystyle l_{2}}$ .

Правило 7

Пусть заданы две прямые ${\displaystyle l_{1}}$ и ${\displaystyle l_{2}}$ и точка ${\displaystyle p}$ , тогда лист можно сложить так, что точка ${\displaystyle p}$ попадёт на прямую ${\displaystyle l_{1}}$ , а прямая ${\displaystyle l_{2}}$ перейдёт сама в себя (то есть линия складки будет ей перпендикулярна).

Замечания

Все складки в этом списке можно получить как результат последовательного применения правила номер 6. То есть для математика они ничего не добавляют, однако позволяют уменьшить количество сгибов. Система из семи правил является полной в том смысле, что они описывают все возможные способы получения одной новой складки на листе бумаги, путём совмещения уже существующих различных элементов листа. Это последнее утверждение было доказано Лэнгом .

Возможные и невозможные построения

Возможные

Все построения являются ничем иным, как решениями какого-либо уравнения , причём коэффициенты этого уравнения связаны с длинами заданных отрезков. Поэтому удобно говорить о построении числа — графического решения уравнения определенного типа. В рамках вышеописанных требований, возможны следующие построения:

• Построение решений линейных уравнений .
• Построение решений квадратных уравнений .
• Построение решений кубических уравнений (правило 6).

Иначе говоря, возможно построить лишь числа равные арифметическим выражениям с использованием квадратного и кубического корней из исходных чисел (длин отрезков). В частности, при помощи таких построений можно осуществить удвоение куба , трисекцию угла , построение правильного семиугольника .

Невозможные

Решение задачи о квадратуре круга однако остаётся невозможным, так как π — трансцендентное число .

История

Основное правило (номер 6) было рассмотрено Маргеритой Пьяцолла Белок , ей же принадлежат первые построения трисекции угла и квадратуры круга с помощью оригами-построений. Складки Белок достаточно для того, чтобы получить складки во всех остальных правилах.

Полный список правил появляется в работе Жака Жюстина , который позднее также ссылался на Питера Мессера как на соавтора. Практически одновременно правила 1—6 были сформулированы Фумиаки Фудзитой . Последнее седьмое правило добавил ещё позже Косиро Хатори .

Вариации и обобщения

Список возможных построений можно значительно расширить, если позволить создание нескольких складок за один раз. Хотя человек, решивший провести несколько складок за одно действие, на практике столкнется с трудностями физического порядка, тем не менее возможно вывести правила, аналогичные правилам Фудзита и для этого случая .

При допущении таких дополнительных правил, возможно доказать следующую теорему:

Любое алгебраическое уравнение степени ${\displaystyle n}$ может быть решено одновременными ${\displaystyle (n-2)}$ -кратными складками .

Представляет интерес, возможно ли решить то же уравнение складыванием, вовлекающим меньшее количество одновременных складок. Это, несомненно, верно для ${\displaystyle n=4}$ и неизвестно для ${\displaystyle n=5}$ .

См. также

• Математика оригами
• Метод Лиля
• Построение с помощью циркуля и линейки

Примечания

Ссылки

• Петрунин А. (рус.) // Квант . — 2008. — № 1 . — С. 38—40 .
• Лэнг Р. от 12 марта 2008 на Wayback Machine . (англ.)
• Hull T. . (англ.)
• T. Hull. (англ.) // American Mathematical Monthly : journal. — 2011. — April. — P. 307—315 . — doi : .