Геометрическая алгебра — историческое построение алгебры, изложенное во второй книге « Начал » Евклида (III век до н. э.), где операции определялись непосредственно для геометрических величин, а теоремы доказывались геометрическими построениями. Другими словами, алгебра античных математиков не только выросла из проблем геометрии, но и полностью строилась на геометрической основе .

Например, произведение числовых величин ${\displaystyle a,b}$ определялось как прямоугольник со сторонами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ .

Примеры

Утверждение теоремы Пифагора можно интерпретировать как алгебраическое равенство, а можно как равенство площадей квадратов, построенных на катетах и квадрата, построенного на гипотенузе . Второй способ является примером подхода геометрической алгебры.

Распределительный закон античные математики представляли как равенство площади прямоугольника сумме площадей двух прямоугольников, получаемых разрезанием исходного параллельно одной из сторон (см. рисунок).

История

В IV веке до н. э. пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, то есть их отношение ( ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ) нельзя выразить ни натуральным числом , ни дробью . Однако других числовых объектов, кроме натуральных чисел, античные математики не признавали, даже дробь рассматривалась ими не как число, а как соотношение ( пропорция ) .

Найти выход сумел в IV веке до н. э. Евдокс Книдский — он ввёл, наряду с числами, понятие геометрических величин (длин, площадей, объёмов). Для однородных величин были определены арифметические операции , аналогичные числовым. Теория Евдокса была изложена Евклидом в пятой книге его « Начал », и она использовалась в Европе до XVII века. Теоремы о числах Евклиду приходилось отдельно передоказывать для величин, да и арифметика величин была существенно беднее, чем числовая — хотя бы потому, что касалась только однородных величин .

Критика

В Новое время выяснилось, что построение числовой алгебры на основе геометрии было ошибкой. Например, с точки зрения геометрии выражения ${\displaystyle x^{2}+x}$ и даже ${\displaystyle x^{4}}$ не имели геометрического истолкования (не определена физическая размерность величины-результата) и поэтому не имели смысла; то же относится к отрицательным числам .

Начиная с «Геометрии» Декарта (1637), европейские математики пошли иным путём — они создали аналитическую геометрию , которая вместо сведе́ния алгебры к геометрии выполняет сведе́ние геометрии к алгебре, и этот путь оказался намного более плодотворным. Чтобы сделать это возможным, Декарт расширил понятие числа — оно вобрало все вещественные числа , включая иррациональные , и является отвлечённым , то есть отделено от геометрии . Отдельное понятие геометрической величины тогда становится излишним. Алгебраизация геометрии позволила, кроме того, обнаружить общие черты в геометрических задачах, которые казались совершенно независимыми .

Некоторые историки существование геометрической алгебры подвергли сомнению. Например, Шабтай Унгуру считал, что поскольку история математики писалась не историками, а математиками, они в своих реконструкциях исходили из того, что математика в своей сущности неизменна, и поэтому при изложении истории они свободно употребляли идеи и термины современной математики.

Примечания

Литература

• История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича , в трёх томах. — М. : Наука, 1970. — Т. I. — 352 с.
• Никифоровский В. А., Фрейман Л. С. Рождение новой математики. — М. : Наука , 1976. — 199 с. — (Из истории мировой культуры).
• Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. — М. — Л. : ГТТИ, 1932. — 230 с.
• Юшкевич А. П. Декарт и математика // Декарт Р. Геометрия. С приложением избранных работ П. Ферма и переписки Декарта / Перевод, примечания и статьи А. П. Юшкевича . — М—Л.: Гостехиздат, 1938. — С. 257—294. — 297 с. — (Классики естествознания).