Interested Article - Аппроксимация

Аппроксима́ция (от лат. proxima — ближайшая) или приближе́ние научный метод , состоящий в замене одних объектов другими, в каком-то смысле близкими к исходным, но более простыми. Реконструкция простого из сложного.

Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны). В теории чисел изучаются диофантовы приближения , в частности, приближения иррациональных чисел рациональными . В геометрии рассматриваются аппроксимации кривых ломаными . Некоторые разделы математики в сущности целиком посвящены аппроксимации, например, теория приближения функций , численные методы анализа .

В переносном смысле употребляется в философии как метод приближения , указание на приблизительный, неокончательный характер. Например, в таком смысле термин «аппроксимация» активно употреблялся Сёреном Кьеркегором (1813—1855) в «Заключительном ненаучном послесловии…».

Остаточный член

Остаточный член — разность между заданной функцией и функцией её аппроксимирующей. Тем самым оценка остаточного члена является оценкой точности рассматриваемой аппроксимации. Этот термин применяется, например, в формуле ряда Тейлора .

Примеры

  • Приблизить действительное число дробью со знаменателем — это значит из всех дробей со знаменателями найти ближайшую к числу .
  • Для приближённого вычисления интеграла используется формула прямоугольников или формула трапеций , или более сложная формула Симпсона . Фактически при этом происходит приближение ступенчатой функцией или вписанной ломаной, интеграл от которой считается мгновенно.
  • Для вычисления значений сложных функций часто используется вычисление значения отрезка ряда , аппроксимирующего функцию.
  • Для обработки экспериментальных или натурных данных. Тут следует рассматривать два случая: 1) аппроксимирующая функция ограничена диапазоном заданных точек и служит в качестве только интерполирующей зависимости; 2) аппроксимирующая функция выступает в роли физического закона и с её помощью допускается экстраполировать переменные. Приведем пример. Пусть на основе натурных наблюдений получены следующие пары чисел и .:

Если функция будет использована только для интерполяции , то достаточно аппроксимировать точки полиномом, скажем, пятой степени:

где:

Намного сложней обстоит дело в случае, если приведенные выше натурные данные служат опорными точками для выявления закона изменения с известными граничными условиями. Например: и . Тут уже качество результата зависит от профессионализма исследователя. В данном случае наиболее приемлемым окажется закон:

где:

Для оптимального подбора параметров уравнений обычно используют метод наименьших квадратов .

См. также

Литература

  • Лоран, П. Ж. Аппроксимация и оптимизация. — М.: Мир, 1975. — С. 496.
  • Виноградов, В. Н., Гай Е. В., Работнов Н. С. Аналитическая аппроксимация данных в ядерной и нейтронной физике. — М.: Энергоатомиздат , 1987. — 128 с.
Источник —

Same as Аппроксимация