Короткая арифметика Гильберта — пример полугруппы , иллюстрирующий тот факт, что для доказательства основной теоремы арифметики необходимо использовать свойства не только умножения , но и сложения . Этот пример принадлежит Давиду Гильберту .

Определение

Короткая арифметика Гильберта представляет собой множество чисел вида ${\displaystyle 4n+1}$ , где ${\displaystyle n}$ пробегает все натуральные числа :

${\displaystyle 1,5,9,13,17,\dots }$

Иногда их называют числа Гильберта . На этом множестве может быть корректно определена стандартная операция умножения, поскольку произведение двух чисел из множества дает вновь число из этого множества: ${\displaystyle (4a+1)(4b+1)=4(ab+a+b)+1}$ . Таким образом, короткая арифметика Гильберта является полугруппой .

Простые числа Гильберта

В арифметике Гильберта можно определить простые числа ( простые числа Гильберта ) стандартным образом: число Гильберта называется простым Гильберта , если оно не делится на меньшее число Гильберта (отличное от ${\displaystyle 1}$ ) . Последовательность простых Гильберта начинается так :

${\displaystyle 5,9,13,17,21,29,33,37,41,49,\dots }$

Простое число Гильберта не обязательно является простым в обычном смысле . Например, ${\displaystyle 21}$ является составным в натуральных числах , поскольку ${\displaystyle 21=3\cdot 7}$ , однако оно является простым Гильберта, поскольку ни ${\displaystyle 3}$ , ни ${\displaystyle 7}$ (то есть все делители числа ${\displaystyle 21}$ , отличные от ${\displaystyle 1}$ и самого числа) не являются числами Гильберта. Из свойств умножения по модулю ${\displaystyle 4}$ следует, что простое Гильберта является либо простым числом вида ${\displaystyle 4n+1}$ (такие числа называются простыми числами Пифагора ), либо полупростым вида ${\displaystyle (4a+3)(4b+3)}$ .

Невыполняемость основной теоремы арифметики

Любое число Гильберта может быть разложено на произведение простых чисел Гильберта, однако для короткой арифметики Гильберта не выполняется основная теорема арифметики : такое разложение может быть не единственным. Например, ${\displaystyle 441}$ является числом Гильберта, но разлагается на простых чисел Гильберта двумя способами:

${\displaystyle 441=9\cdot 49=21\cdot 21}$ .

где числа ${\displaystyle 9}$ , ${\displaystyle 49}$ и ${\displaystyle 21}$ являются простыми Гильберта .

Примечания

Комментарии

Источники

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• (неопр.) . Школа Опойцева — Лекции и Уроки . — Видеоурок. Дата обращения: 18 марта 2020.