Числа Лейланда — это натуральные числа , представимые в виде x ^y + y ^x , где x и y — целые числа больше 1 . Иногда 3 также относят к числам Лейланда .

Первые несколько чисел Лейланда :

3 , 8 , 17 , 32 , 54 , 57 , 100 , 145 , 177 , 320, 368, 512, 593, 945 , 1124, 1649, 2169, 2530, 4240, 5392, …

Требование, что x и y должны быть больше чем 1, имеет ключевое значение, поскольку без него каждое натуральное число будет представимо в виде x ¹ + 1 ^x . Кроме того, благодаря коммутативности сложения, обычно добавляют условие x ≥ y , чтобы избежать двойного покрытия чисел Лейланда. Таким образом область определения x и y определяется неравенством 1 < y ≤ x .

Простые числа Лейланда

Первые несколько простых чисел Лейланда :

17 = 3 ² + 2 ³ ,

593 = 9 ² + 2 ⁹ ,

32 993 = 15 ² + 2 ¹⁵ ,

2 097 593 = 21 ² + 2 ²¹ ,

8 589 935 681 = 33 ² + 2 ³³ ,

59 604 644 783 353 250 = 24 ⁵ + 5 ²⁴ , …

На июнь 2008 года , крупнейшим известным простым числом Лейланда являлось число

2638 ⁴⁴⁰⁵ + 4405 ²⁶³⁸

с 15 071 цифрой , простота которого была доказана в 2004 году с помощью алгоритма fastECPP .

После этого были найдены ещё большие простые числа Лейланда, например, 5122 ⁶⁷⁵³ + 6753 ⁵¹²² (25050 десятичных знаков) . В декабре 2012 года было доказано, что числа 3110 ⁶³ + 63 ³¹¹⁰ (5596 десятичных знаков) и 8656 ²⁹²⁹ + 2929 ⁸⁶⁵⁶ (30008 десятичных знаков) также являются простыми. Последнее из этих чисел содержит рекордное число десятичных знаков на настоящий момент . Существуют кандидаты в простые, например, 314738 ⁹ + 9 ³¹⁴⁷³⁸ , однако их простота пока не доказана.

Применение

Числа вида ${\displaystyle x^{y}+y^{x}}$ оказались удачными тестовыми примерами для универсальных алгоритмов разложения на множители из-за своего простого алгебраического описания и отсутствия очевидных свойств, которые бы позволили применить какой-либо специальный алгоритм факторизации .

Примечания

Литература

• Richard Crandall , Carl Pomerance . . — Springer Science & Business Media, 2005. — 597 p. — ISBN 0-387-25282-7 . — ISBN 978-0-387-25282-7 .