Репью́ниты ( англ. repunit , от repeated unit — повторённая единица) — натуральные числа ${\displaystyle R(b,n)}$ , запись которых в системе счисления с основанием ${\displaystyle b>1}$ состоит из одних единиц. В десятичной системе счисления репьюниты обозначаются ${\displaystyle R_{n}}$ : ${\displaystyle R_{1}=1}$ , ${\displaystyle R_{2}=11}$ , ${\displaystyle R_{3}=111}$ и т. д., и общий вид для них:

${\displaystyle R_{n}={\frac {10^{n}-1}{9}},\quad n=1,2,3,\ldots }$

Репьюниты являются частным случаем репдигитов .

Факторизация десятичных репьюнитов

(Простые числа в факторизациях, окрашенные в коричневый цвет , означают, что это новые простые числа в факторизациях R _n , которые не делят R _k для всех k < n )

R 1 = 1 R 2 = 11 R 3 = 3 · 37 R 4 = 11 · 101 R 5 = 41 · 271 R 6 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 R 7 = 239 · 4649 R 8 = 11 · 73 · 101 · 137 R 9 = 3 2 · 37 · 333667 R 10 = 11 · 41 · 271 · 9091

R 11 = 21649 · 513239 R 12 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · 9901 R 13 = 53 · 79 · 265371653 R 14 = 11 · 239 · 4649 · 909091 R 15 = 3 · 31 · 37 · 41 · 271 · 2906161 R 16 = 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5882353 R 17 = 2071723 · 5363222357 R 18 = 3 2 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 52579 · 333667 R 19 = 1111111111111111111 R 20 = 11 · 41 · 101 · 271 · 3541 · 9091 · 27961

R 21 = 3 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10838689 R 22 = 11 2 · 23 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 R 23 = 11111111111111111111111 R 24 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99990001 R 25 = 41 · 271 · 21401 · 25601 · 182521213001 R 26 = 11 · 53 · 79 · 859 · 265371653 · 1058313049 R 27 = 3 3 · 37 · 757 · 333667 · 440334654777631 R 28 = 11 · 29 · 101 · 239 · 281 · 4649 · 909091 · 121499449 R 29 = 3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397 R 30 = 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2906161

Свойства

• На 2022 год известно только 11 простых репьюнитов ${\displaystyle R_{n}}$ для n , равных :

2 , 19 , 23 , 317 , 1031, 49 081, 86 453, 109 297, 270 343, 5 794 777, 8 177 207 (последовательность в OEIS )

Очевидно, что индексы простых репьюнитов также являются простыми числами.

• В результате умножения ${\displaystyle R_{i}\cdot R_{j}}$ при ${\displaystyle 9\geq i\geq j}$ получается палиндромическое число вида ${\displaystyle (12\ldots j\ldots 21)}$ из ${\displaystyle i+j-1}$ цифр с цифрой ${\displaystyle j}$ посередине.
• Репьюнит 11 111 111 111 111 111 111 является самопорождённым числом .
• Всякое положительное кратное репьюнита ${\displaystyle R_{n}}$ содержит не менее n ненулевых цифр.
• Репьюнит как сумма последовательных квадратов. Число можно представить в виде суммы квадратов нескольких последовательных натуральных чисел: ${\displaystyle 1111=\sum \limits _{n=11}^{16}n^{2}}$ . Очевидно, что единица также удовлетворяет данному условию. Других таких репьюнитов нет вплоть до длины 251 включительно.

В культуре

В честь репьюнитов назван астероид (11111) Репьюнит , порядковый номер которого — ${\displaystyle R_{5}}$ .

Примечания

Литература

• Yates S. The mystique of repunits — Math. Mag., 1978, 51, 22—28.
• Ейтс С. Репьюниты и десятичные периоды — Мир, 1992.
• Кордемский Б. // Квант . — 1997. — № 5 . — С. 28—29 .
• Н. М. Карпушина. Вне формата. Занимательная математика: гимнастика для ума или искусство удивлять?. — М. : АНО Редакция журнала «Наука и жизнь», 2013. — С. 115, 132-149. — 288 с. — ISBN 978-5-904129-07-1 .