Центрированные многоугольные числа — это класс плоских ${\displaystyle k}$ -угольных фигурных чисел ( ${\displaystyle k\geqslant 3}$ ), получаемый следующим геометрическим построением. Сначала на плоскости фиксируется некоторая центральная точка. Затем вокруг неё строится правильный ${\displaystyle k}$ -угольник с ${\displaystyle k}$ точками вершин, каждая сторона содержит две точки (см. рисунок). Далее снаружи строятся новые слои ${\displaystyle k}$ -угольников, причём каждая их сторона на новом слое содержит на одну точку больше, чем в предыдущем слое, то есть начиная со второго слоя каждый следующий слой содержит на ${\displaystyle k}$ больше точек, чем предыдущий. Общее число точек внутри каждого слоя и принимается в качестве центрированного многоугольного числа (точка в центре считается начальным слоем) .

Примеры построения центрированных многоугольных чисел:

Треугольные	Квадратные	Пятиугольные	Шестиугольные

Из построения видно, что центрированные многоугольные числа получаются как частичные суммы следующего ряда: ${\displaystyle 1+k+2k+3k+4k+\dots }$ (например, центрированные квадратные числа, для которых ${\displaystyle k=4,}$ образуют последовательность: ${\displaystyle 1,5,13,25,41\dots }$ ) Этот ряд можно записать как ${\displaystyle 1+k(1+2+3+4+\dots ).}$ , откуда видно, что в скобках — порождающий ряд для классических треугольных чисел . Следовательно, каждая последовательность центрированных ${\displaystyle k}$ -угольных чисел, начиная со 2-го элемента, может быть представлена как ${\displaystyle kT_{n}+1,}$ где ${\displaystyle T_{n}(n=1,2,3\dots )}$ — последовательность треугольных чисел. Например, центрированные квадратные числа — это учетверённые треугольные числа плюс 1, порождающий ряд для них имеет вид: ${\displaystyle 1+4+8+12\dots }$

Общая формула для ${\displaystyle n}$ -го центрированного ${\displaystyle k}$ -угольного числа ${\displaystyle C_{n}^{(k)}}$ :

${\displaystyle C_{n}^{(k)}=1+k{\frac {n(n-1)}{2}}={\frac {kn^{2}-kn+2}{2}};\ n=1,2,3\dots }$

(ОЦФ)

Сводная таблица

Число углов k	Тип числа	Начало последовательности	Ссылка на OEIS
3	Центрированные треугольные числа	1, 4, 10, 19, 31, …
4	Центрированные квадратные числа	1, 5, 13, 25, 41, …
5	Центрированные пятиугольные числа	1, 6, 16, 31, 51, …
6	Центрированные шестиугольные числа	1, 7, 19, 37, 61, …
7	Центрированные семиугольные числа	1, 8, 22, 43, 71, …
8	Центрированные восьмиугольные числа	1, 9, 25, 49, 81, …
9	Центрированные девятиугольные числа	1, 10, 28, 55, 91, …
10	Центрированные десятиугольные числа	1, 11, 31, 61, 101, …

и так далее.

Примечания

Литература

• Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. . — М. : Просвещение, 1996. — С. . — 320 с. — ISBN 5-09-006575-6 .
• Глейзер Г. И. . — М. : Просвещение, 1964. — 376 с.
• Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М. : МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .