Октаэдральное число — разновидность многогранных фигурных чисел . Поскольку октаэдр можно рассматривать как две квадратные пирамиды , склеенные своими основаниями (см. рисунок), октаэдральное число определяется как сумма двух последовательных квадратных пирамидальных чисел :

${\displaystyle O_{n}=\Pi _{n-1}^{(4)}+\Pi _{n}^{(4)}}$

Общая формула для ${\displaystyle n}$ -го по порядку октаэдрального числа ${\displaystyle O_{n}}$ :

${\displaystyle O_{n}={n(2n^{2}+1) \over 3}}$

Первые из октаэдральных чисел (последовательность в OEIS ):

${\displaystyle 1,6,19,44,85,146,231,344,489,670\dots }$

Рекуррентная формула :

${\displaystyle O_{n+1}=O_{n}+(n+1)^{2}+n;\quad O(1)=1}$

Производящая функция последовательности :

${\displaystyle {\frac {x(x+1)^{2}}{(x-1)^{4}}}=\sum _{n=1}^{\infty }O_{n}x^{n}=x+6x^{2}+19x^{3}+\cdots ;\quad |x|<1}$

Связь с фигурными числами других типов

Данное выше определение связало октаэдральные числа с квадратными пирамидальными . Связь с тетраэдральными числами ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}}$ :

${\displaystyle O_{n}+4\mathbb {T} _{n-1}=\mathbb {T} _{2n-1}}$

Геометрически эта формула означает, что если наклеить по тетраэдру на четыре не смежные грани октаэдра , то получится тетраэдр удвоенного размера.

Ещё один вид связи :

${\displaystyle O_{n}=\mathbb {T} _{n}+2\mathbb {T} _{n-1}+\mathbb {T} _{n-2}}$

Эта формула вытекает из определения и того факта, что квадратное пирамидальное число есть сумма двух тетраэдральных. Другое её истолкование: октаэдр может быть разделён на четыре тетраэдра, каждый из которых имеет две изначально смежные грани.

Связь с тетраэдральными и кубическими числами :

${\displaystyle O_{n}+2\mathbb {T} _{n-1}=n^{3}}$

Разность двух последовательных октаэдральных чисел есть центрированное квадратное число :

${\displaystyle O_{n+1}-O_{n}=C_{n+1}^{4}=(n+1)^{2}+n^{2}}$

Гипотеза Поллока

В 1850 году британский математик-любитель, член Королевского общества сэр Джонатан Фредерик Поллок . выдвинул предположение , что каждое натуральное число является суммой не более семи октаэдральных чисел. Гипотеза Поллока до сих пор не доказана и не опровергнута. Компьютерная проверка показала, что, скорее всего:

• 309 — самое большое число, которое требует ровно семь слагаемых;
• 11 579 — последнее число, требующее шесть слагаемых;
• 65 285 683 — последнее число, требующее пять слагаемых.

Если гипотеза Поллока верна, то доказано, что должны существовать сколь угодно большие числа, нуждающиеся в четырёх слагаемых .

Применение

В химии октаэдрические числа могут использоваться, чтобы описать числа атомов в октаэдрических кластерах (см. « магические кластеры ») .

Примечания

Литература

• Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М. : МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .