Додекаэдра́льное число́ — разновидность многогранных фигурных чисел , связанная с додекаэдром . Общая формула для ${\displaystyle n}$ -го по порядку додекаэдрального числа ${\displaystyle D_{n}}$ :

${\displaystyle D_{n}=n{\frac {(3n-1)(3n-2)}{2}}}$

Первые из додекаэдральных чисел (последовательность в OEIS ):

${\displaystyle 1,20,84,220,455,816,1330,2024,2925,4060\dots }$

Рекуррентная формула :

${\displaystyle D_{n}=D_{n-1}+{\frac {27n^{2}-45n+20}{2}};\quad D_{1}=1}$

Производящая функция последовательности :

${\displaystyle {\frac {x(1+16x+10x^{2})}{(x-1)^{4}}}=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}x^{n};\quad |x|<1}$

Связь с тетраэдральными числами ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}}$ :

${\displaystyle D_{n}=\mathbb {T} _{n}+16\mathbb {T} _{n-1}+10\mathbb {T} _{n-2}\quad (n>2)}$

Из общей формулы видно, что додекаэдральное число всегда составное (делится на ${\displaystyle n}$ ).

Примечания

Литература

• Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М. : МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .