Квадра́тное пирамида́льное число́ (часто называемое просто пирамида́льным число́м ) — пространственное фигурное число , представляющее пирамиду , с квадратным основанием. Квадратные пирамидальные числа также выражают количество квадратов со сторонами, параллельными осям координат , в решётке из N × N точек.

Начало последовательности:

1 , 5 , 14 , 30 , 55 , 91 , 140 , 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, … (последовательность в OEIS ).

Формула

Общая формула для ${\displaystyle n}$ -го по порядку квадратного пирамидального числа:

${\displaystyle P_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}.}$

Это частный случай , которую несложно доказать по индукции . Впервые равносильная формула была приведена в « Книге абака » Фибоначчи (XIII век).

В современной математике формализация фигурных чисел происходит с помощью многочленов Эрара . Многочлен Эрара L ( P , t ) многогранника P — многочлен , который подсчитывает количество целых точек в копии многогранника P , который увеличивается путём умножения всех его координат на число t . Многочлен Эрара пирамиды, основанием которой является квадрат со стороной 1 с целыми координатами, а вершина которой находится на высоте 1 над основанием, вычисляется по формуле :

( t + 1)( t + 2)(2 t + 3)/6 = P _{t + 1} .

Производящая функция

Производящая функция для квадратных пирамидальных чисел имеет вид:

${\displaystyle \mathbf {1} x+\mathbf {5} x^{2}+\mathbf {14} x^{3}+\mathbf {30} x^{4}+\mathbf {55} x^{5}+\ldots ={\frac {x(x+1)}{(x-1)^{4}}}.}$

Связь с другими фигурными числами

Квадратные пирамидальные числа могут быть также выражены в виде суммы биномиальных коэффициентов :

${\displaystyle P_{n}={\binom {n+2}{3}}+{\binom {n+1}{3}}.}$

Биномиальные коэффициенты, возникающие в этом представленном выражении, — это тетраэдральные числа . Эта формула выражает квадратные пирамидальные числа в виде суммы двух чисел, так же как любое квадратное число является суммой двух последовательных треугольных чисел . В этой сумме, одно из двух тетраэдрических чисел считает количество шаров в сложенной пирамиде, которые расположены выше или по одну сторону от диагонали квадратного основания пирамиды; а второе — расположенных по другую сторону диагонали. Квадратные пирамидальные числа также связаны с тетраэдральными следующим образом :

${\displaystyle P_{n}={\frac {1}{4}}{\binom {2n+2}{3}}.}$

Сумма двух последовательных квадратных пирамидальных чисел является октаэдрическим числом .

Проблема нахождения квадратных пирамидальных чисел, являющихся одновременно квадратными числами , известна как задача об укладке пушечных ядер и была сформулирована Люка (1875) .

Примечания

Литература

• Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. . — М. : Просвещение, 1996. — С. . — 320 с. — ISBN 5-09-006575-6 .
• Глейзер Г. И. . — М. : Просвещение, 1964. — 376 с.
• Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М. : МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .

Ссылки

• от 23 ноября 2018 на Wayback Machine
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• от 28 июля 2009 на Wayback Machine
• Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions (неопр.) . — National Bureau of Standards, Applied Math. Series 55, 1964. — С. 813. — ISBN 0486612724 .