Избы́точное число́ — положительное целое число n , сумма положительных собственных делителей (отличных от n) которого превышает n .

Любое натуральное число относится к одному из трёх классов:

• избыточные числа,
• совершенные числа ,
• недостаточные числа .

Избыточные числа (последовательность в OEIS ):

12 , 18 , 20 , 24 , 30 , 36 , 40 , 42 , 48 , 54 , 56 , 60 , 66 , 70 , 72 , 78 , 80 , 84 , 88 , 90 , 96, 100 , 102 , 104, 108 , …

Число 48, например, является избыточным, поскольку 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 16 + 24 = 76, 76 > 48.

Наименьшим избыточным числом является 12 . Наименьшим нечётным избыточным числом является 945 .

Существует бесконечно много как чётных, так и нечётных избыточных чисел. Более того, почти каждое четвёртое натуральное число является избыточным. Более точно, произвольно взятое натуральное число является избыточным с вероятностью (см. асимптотическая плотность ), лежащей между 0,2474 и 0,2480.

Индексом избыточности называется величина ${\displaystyle I(N)=\sigma (N)/N}$ , где ${\displaystyle \sigma (N)}$ — сумма делителей числа (для совершенных чисел ${\displaystyle I(N)=2}$ .

Существуют числа со сколь угодно большим индексом избыточности. Последовательность ${\displaystyle \{a_{k}\}}$ минимальных чисел ${\displaystyle N}$ , таких что ${\displaystyle I(N)>k}$ — последовательность в OEIS .

Советский математик Лев Шнирельман доказал, что любое натуральное число, большее 28 123, может быть представлено в виде суммы двух избыточных чисел.

См. также

• Совершенное число
• Полусовершенное число
• Недостаточные числа
• Слегка избыточные числа (квазисовершенные числа)
• Слегка недостаточные числа
• Дружественные числа
• Магические числа (физика)