Колоссально избыточное число ( CA от англ. colossally abundant number ) — натуральное число ${\displaystyle n}$ , которое в определённом строгом смысле имеет много делителей : существует ${\displaystyle \varepsilon >0}$ такое, что для всех ${\displaystyle k>1}$ :

${\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{n^{1+\varepsilon }}}\geqslant {\frac {\sigma (k)}{k^{1+\varepsilon }}}}$ ,

где ${\displaystyle \sigma }$ — функция суммы делителей . Все колоссально избыточные числа также являются суперизбыточными числами , но обратное неверно.

Первые 15 колоссально избыточных чисел — 2 , 6 , 12 , 60 , 120 , , , 5040 , 55440, 720720, 1441440 , 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800 — также являются первыми 15 весьма суперсоставными числами .

История

Впервые колоссально избыточные числа были изучены Рамануджаном , и его результаты должны были быть включены в его статью 1915 года о сверхсоставном числе . К сожалению, издатель журнала, в который Рамануджан представил свою работу, Лондонское математическое общество , в то время испытывало финансовые затруднения, и Рамануджан согласился удалить некоторые аспекты работы, чтобы снизить стоимость печати . Его выводы в основном были обусловлены гипотезой Римана , и с этим предположением он нашёл верхнюю и нижнюю границы размера колоссально избыточных чисел и доказал, что то, что впоследствии станет известным как неравенство Робина (см. ниже), выполняется для всех достаточно больших значений n .

Класс чисел был пересмотрен в несколько более сильной форме в статье Леонидаса Алаоглу и Пала Эрдёша 1944 года, в которой они пытались расширить результаты Рамануджана .

Свойства

Колоссально избыточные числа — это один из нескольких классов целых чисел, которые пытаются уловить понятие наличия множества делителей. Для положительного целого числа n функция суммы делителей σ ( n ) даёт сумму всех тех чисел, которые делят n , включая 1 и само n . Пауль Бахман показал, что в среднем σ( n ) составляет около π ² n / 6 . Теорема , тем временем, говорит, что максимальный порядок σ( n ) немного больше, в частности, существует возрастающая последовательность целых чисел n , такая, что для этих целых чисел σ( n ) примерно того же размера, что и e ^γ n log(log( n )), где γ является постоянной Эйлера — Маскерони . Следовательно, колоссально избыточные числа охватывают понятие наличия множества делителей, требуя от них максимизировать для некоторого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ , значение функции

${\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{n^{1+\varepsilon }}}}$

по всем значениям ${\displaystyle n}$ . Результаты Бахмана и Грёнвалла гарантируют, что для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ эта функция имеет максимум и что по мере стремления ε к нулю эти максимумы будут увеличиваться. Таким образом, существует бесконечно много колоссально избыточных чисел, хотя они довольно редки, и только 22 из них меньше 10 ¹⁸ .

Для каждого ε указанная выше функция имеет максимум, но не очевидно, и на самом деле неверно, что для каждого ε это максимальное значение единственно. Алаоглу и Эрдёш изучали, сколько различных значений n может дать одно и то же максимальное значение указанной выше функции для данного значения ε. Они показали, что для большинства значений ε будет единственное целое число n , максимизирующее функцию. Позже, однако, Эрдёш и Жан-Луи Николя показали, что для определённого набора дискретных значений ε может быть два или четыре различных значения n , дающих одно и то же максимальное значение .

В своей статье 1944 года Алаоглу и Эрдёш предположили, что соотношение двух последовательных колоссально избыточных чисел всегда было простым числом . Они показали, что это следует из частного случая в теории трансцендентных чисел , в частности, что для любых двух различных простых чисел p и q только действительные числа t , для которых и p ^t и q ^t являются рациональными числами , являются положительными целыми числами. Используя соответствующий результат для трёх простых чисел — частный случай , который К. Л. Зигель доказал, — им удалось показать, что частное двух последовательных колоссально избыточных чисел всегда равно либо простому, либо полупростому числу , то есть числу, состоящему всего из двух простых множителей . Частное никогда не может быть квадратом простого числа.

Гипотеза Алаоглу и Эрдёша остаётся открытой, хотя она проверена как минимум вплоть до 10 ⁷ Если это правда, это будет означать, что существует последовательность неотличимых простых чисел p ₁ , p ₂ , p ₃ ,... таких, что n -е колоссально избыточное число имело вид:

${\displaystyle c_{n}=\prod _{i=1}^{n}p_{i}~.}$

Предполагая, что гипотеза верна, эта последовательность простых чисел начинается с 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, 2 (последовательность в OEIS ). Гипотеза Алаоглу и Эрдёша также означала бы, что никакое значение ε не даёт четырёх различных целых чисел n в качестве максимумов указанной выше функции.

Связь с гипотезой Римана

В 1980-х годах показал , что гипотеза Римана эквивалентна утверждению, что следующее неравенство верно для всех ${\displaystyle n}$ > 5040: (где ${\displaystyle \gamma }$ является постоянной Эйлера — Маскерони ):

${\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n\approx 1.781072418\cdot n\log \log n\,~.}$

Известно, что это неравенство не выполняется для 27 чисел (последовательность в OEIS ):

2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 48, 60, 72, 84, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 2520, 5040

Робин показал, что если гипотеза Римана верна, то ${\displaystyle n}$ = 5040 — это последнее целое число, для которого она не выполняется. Неравенство теперь известно как неравенство Робина после его работы. Известно, что неравенство Робина, если оно когда-либо не соблюдается, не сработает для колоссально избыточного числа «n»; таким образом, гипотеза Римана фактически эквивалентна неравенству Робина, справедливому для каждого колоссально избыточного числа n > 5040.

В 2001 – 2002 годах Лагариас продемонстрировал альтернативную форму утверждения Робина, которая не требует исключений, используя гармоническое число вместо логарифма :

${\displaystyle \sigma (n)<H_{n}+\exp(H_{n})\log(H_{n})~.}$

Или, кроме 8 исключений из n = 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24, 60:

${\displaystyle \sigma (n)<\exp(H_{n})\log(H_{n})~.}$

Ссылки

Внешние ссылки