Interested Article - Весьма избыточное число

martine
  • 2021-04-04
  • 1

Суммы делителей в виде палочек Кюизенера первых шести высокоизбыточных чисел

Весьма избыточное число или высокоизбыточное число — это натуральное число , сумма делителей которого (включая само число) больше суммы делителей любого меньшего натурального числа.

Высокоизбыточные числа и некоторые подобные классы чисел ввёл Пиллай , а раннюю работу на эту тему сделали Алаоглу и Эрдёш . Алаоглу и Эрдёш перечислили все высокоизбыточные числа вплоть до 10 4 и показали, что число высокоизбыточных чисел, меньших N , по меньшей мере пропорционально log 2 N .

Формальное определение и примеры

Формально, натуральное число n называется весьма избыточным тогда и только тогда, когда для всех натуральных чисел m < n

,

где σ означает функцию «сумма делителей» . Несколько первых высокоизбыточных чисел

1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 16 , 18 , 20 , 24 , 30 , 36 , 42 , 48 , 60 , ... (последовательность в OEIS ).

Например, 5 не высокоизбыточно, поскольку σ(5) = 5+1 = 6 меньше, чем σ(4) = 4 + 2 + 1 = 7, в то время как 8 высокоизбыточно, поскольку σ(8) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 больше, чем все предыдущие значения σ.

Кроме чисел 1 и 3, других высокоизбыточных нечётных чисел нет

Связь с другими множествами чисел

Хотя первые восемь факториалов являются высокоизбыточными, таковыми будут не все факториалы. Например,

σ(9!) = σ(362880) = 1481040,

но существует меньшее число с большей суммой делителей,

σ(360360) = 1572480,

так что 9! не высокоизбыточно.

Алаоглу и Эрдёш заметили, что все суперизбыточные числа являются высокоизбыточными, и поставили вопрос, существует ли бесконечное число высокоизбыточных чисел, не являющихся суперизбыточными. На этот вопрос утвердительно ответил Жан-Луис Николас .

Вопреки терминологии, не все высокоизбыточные числа являются избыточными . В частности, ни одно из семи первых высокоизбыточных чисел не является избыточным.

7200 является наибольшим полнократным числом , являющимся одновременно высокоизбыточным, все большие высокоизбыточные числа имеют простой множитель , делящий число только однократно. По той же причине 7200 является наибольшим высокоизбыточным числом с нечётной суммой делителей .

Примечания

  1. Палочки Кюизенера — это счётные палочки для начальных классов школы, предназначенные для обучения счёту и понимания деления. Палочки имеют различную длину и раскрашены в различные цвета. Палочки были придуманы бельгийским школьным учителем Георгом Кюизенером.
  2. .
  3. .
  4. См. статью Алаоглу и Эрдёша ( ), p. 466. Алаоглу и Эрдёш высказывают более сильное утверждение, что все высокоизбыточные числа, превосходящие 210, делятся на 4, но это утверждение ошибочно — 630 является высокоизбыточным, но на 4 не делится. (Фактически, только это число 630 и является контрпримером , все большие высокоизбыточные числа делятся на 12.)
  5. .
  6. , с. 464–466.

Литература

Источник —

martine
  • 2021-04-04
  • 1
  • Tags:

Same as Весьма избыточное число

The title for the last searches