Слегка́ избы́точное число́ , или квазисоверше́нное число́ (от лат. quas(i) «наподобие», «нечто вроде») — избыточное число , сумма собственных делителей которого на единицу больше самого числа .

До настоящего времени (2021 год) не было найдено ни одного слегка избыточного числа. Но со времён Пифагора , впервые попытавшегося решить эту проблему, математики не могут доказать, что слегка избыточных чисел не существует. Известно лишь, что (если слегка избыточные числа существуют) они должны быть больше 10 ³⁵ и иметь не менее 7 различных простых делителей .

Необходимое условие

Сумму собственных делителей ${\displaystyle S}$ натурального числа ${\displaystyle x}$ можно найти, отняв от суммы всех делителей исходное число.

${\displaystyle S(x)=\sigma (x)-x}$ .

По определению для слегка избыточных чисел ${\displaystyle S(x)=x+1}$ . Тогда ${\displaystyle \sigma (x)=2x+1}$ — нечётное. Значит, в произведении

${\displaystyle \sigma (x)=(1+p_{1}+p_{1}^{2}+\ldots +p_{1}^{k_{1}})(1+p_{2}+p_{2}^{2}+\ldots +p_{2}^{k_{2}})\ldots (1+p_{n}+p_{n}^{2}+\ldots +p_{n}^{k_{n}}),}$ где ${\displaystyle x=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\ldots p_{n}^{k_{n}},}$ все множители нечётные.

Для нечётного ${\displaystyle p_{i}}$ сумма ${\displaystyle 1+p_{i}+p_{i}^{2}+\ldots +p_{i}^{k_{i}}}$ будет нечётной только при чётном ${\displaystyle k_{i}}$ .

Единственное чётное простое число — это 2. Соответствующая сумма ${\displaystyle 1+2+2^{2}+\ldots +2^{k}}$ всегда нечётна.

Слегка избыточное число ${\displaystyle x}$ является либо полным квадратом числа, либо удвоенным квадратом числа.

См. также

• Избыточные числа
• Недостаточные числа
• Слегка недостаточные числа
• Совершенные числа